Question

14．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；若B，C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC．

Answer 1

分析 证明ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC；

解答 证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE．
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．