【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(1,2),∠ABC=90°,连接AC.
(1)求直线AC的函数表达式;
(2)点P是线段OC上一动点,从点O向点C运动,过点P作PM∥y轴,分别交AB或BC,AC于点M,N,其中点P的横坐标为m,MN的长为n.
①当0<m≤1时,求n与m之间的函数关系式;
②当△AMN的面积最大时,请直接写出m的值.
【答案】(1)y=﹣x+1;(2)①n=m;②m=时,△AMN的面积最大为
【解析】
(1)先求出点C坐标,再利用待定系数法可求解析式;
(2)①先求出直线AB,BC的解析式,分别表示M,N两点坐标,即可求解;
②分点M在AB上,点M在BC上两种情况讨论,利用一次函数的性质和二次函数的性质分别求出面积最大值,即可求解.
解:(1)如图,过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥OC于点F,连接OB,
∵点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(1,2),
∴OA=1,BE=OF=1,BF=OE=2,
∴AE=BE=1,
∴∠EAB=45°,
∴∠BAO=135°,
∵∠OAB+∠AOC+∠ABC+∠BCO=360°,
∴∠BCO=45°,
∴∠BCO=∠CBF=45°,
∴BF=CF=2,
∴OC=3,
∴点C(3,0),
设直线AC解析式为:y=kx+1,
∴0=3k+1,
∴k=﹣,
∴直线AC解析式为:y=﹣x+1;
(2)①如图,∵A的坐标为(0,1),点B的坐标为(1,2),点C坐标(3,0)
易得直线AB解析式为:y=x+1,直线BC解析式为:y=﹣x+3,
当0<m≤1时,即点M在AB上,
∵点P的横坐标为m,
∴点M(m,m+1),点N(m,﹣m+1),
∴MN=n=(m+1)﹣(﹣m+1)=m;
②当0<m≤1时,MN=n=m,
∴S△AMN=×m×m=m2,
∴当m=1时,△AMN的面积最大为,
当1<m≤3时,同①可得:M'N'=n=﹣m+3﹣(﹣m+1)=﹣m+2,
∴S△AMN=×m×(﹣m+2)=﹣(m﹣)2+,
∴当m=时,△AMN的面积最大为,
综上所述:当m=时,△AMN的面积最大为.
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【题目】房山某中学改革学生的学习模式,变“老师要学生学习”为“学生自主学习”,培养了学生自主学习的能力.小华与小明同学就“最喜欢哪种学习方式”随机调查了他们周围的一些同学,根据收集到的数据绘制了以下的两个统计图.请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题:
(1)这次抽样调查中,共调查了 名学生;
(2)补全两幅统计图;
(3)根据抽样调查的结果,估算该校1000名学生中大约有多少人选择“小组合作学习”?
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【题目】如图,已知一个三角形纸片,其中,分别是边上的点,连接.
(1)如图,若将纸片的一角沿折叠,折叠后点落在边上的点处,且使S四边形ECBF,求的长;
(2)如图,若将纸片的一角沿折叠,折叠后点落在边上的点处,且使.试判断四边形的形状,并证明你的结论.
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【题目】如图,矩形OABC的顶点A,C的坐标分别为(4,0),(0,6),直线AD交BC于点D.tan∠OAD=2,抛物线过A,D两点.
()求点D的坐标和抛物线M1的表达式.
()点P是抛物线M1对称轴上一动点,当∠CPA=90°时,求所有满足条件的点P的坐标.
()如图,点E(0,4),连接AE,将抛物线M1的图象向下平移m(m>0)个单位得到抛物线M2.
①设点D平移后的对应点为点D',当点D'恰好落在直线AE上时,求m的值.
②当时,若抛物线M2与直线AE有两个交点,求m的取值范围.
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【题目】如图,在Rt△ACB中,∠ABC=90°,D为BC边的中点,BE⊥AD于点E,交AC于F,若AB=4,BC=6,则线段EF的长为_____.
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【题目】心理学家研究发现,一般情况下,一节课40分钟中,学生的注意力随教师讲课的变化而变化,开始上课时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知,学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB、BC分别为线段,CD为双曲线的一部分):
(1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较,何时学生的注意力更集中?
(2)一道数学竞赛题,需要讲16分钟,为了效果较好,要求学生的注意力指标数最低达到36,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?
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【题目】如图,C是的一定点,D是弦AB上的一定点,P是弦CB上的一动点.连接DP,将线段PD绕点P顺时针旋转得到线段.射线与交于点Q.已知,设P,C两点间的距离为xcm,P,D两点间的距离,P,Q两点的距离为.
小石根据学习函数的经验,分别对函数,,随自变量x的变化而变化的规律进行了探究,下面是小石的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了,,与x的几组对应值:
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
/cm | 4.29 | 3.33 | 1.65 | 1.22 | 1.0 | 2.24 | |
/cm | 0.88 | 2.84 | 3.57 | 4.04 | 4.17 | 3.20 | 0.98 |
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数据所对应的点,,并画出函数,的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:连接DQ,当△DPQ为等腰三角形时,PC的长度约为_____cm.(结果保留一位小数)
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【题目】如图,在中,(圆心在内部)经过两点,交线段于点直径交于点点关于直线的对称点落在上.连结.
求证:.
在圆心的运动过程中,
若,求的长.
若点关于的对称点落在边上时,求的值.(直接写出答案)
令与边的另一个交点为,连结交于点若,垂足为点求证:.
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【题目】某体育老师随机抽取了九年级甲、乙两班部分学生进行一分钟跳绳的测试,并对成绩进行统计分析,绘制了频数分布表和统计图,请你根据图表中的信息完成下列问题:
分组 | 频数 | 频率 |
第一组(0≤x<120) | 3 | 0.15 |
第二组(120≤x<160) | 8 | a |
第三组(160≤x<200) | 7 | 0.35 |
第四组(200≤x<240) | b | 0.1 |
(1)频数分布表中a=____,b=_____,并将统计图补充完整;
(2)如果该校九年级共有学生360人,估计跳绳能够一分钟完成160或160次以上的学生有多少人?
(3)已知第一组中有两个甲班学生,第四组中只有一个甲班学生,老师随机从这两个组中各选一名学生谈测试体会,则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少?
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