[题目](1)如图:已知D为等腰直角△ABC斜边BC上的一个动点(D与B.C均不重合),连结AD,△ADE是等腰直角三角形,DE为斜边,连结CE,求∠ECD的度数.(2)当(1)中△ABC.△ADE都改为等边三角形,D点为△ABC中BC边上的一个动点(D与B.C均不重合),当点D运动到什么位置时,△DCE的周长最小?请探求点D的位置,试说明理由,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】(1)如图:已知D为等腰直角△ABC斜边BC上的一个动点(D与B、C均不重合),连结AD,△ADE是等腰直角三角形,DE为斜边,连结CE,求∠ECD的度数.

(2)当(1)中△ABC、△ADE都改为等边三角形,D点为△ABC中BC边上的一个动点(D与B、C均不重合),当点D运动到什么位置时,△DCE的周长最小?请探求点D的位置,试说明理由,并求出此时∠EDC的度数.

(3)在(2)的条件下,当点D运动到使△DCE的周长最小时,点M是此时射线AD上的一个动点,以CM为边,在直线CM的下方画等边三角形CMN,若△ABC的边长为4，请直接写出DN长度的最小值.

【答案】(1)∠ECD=90°； (2)点D运动到BC的中点时，△DCE的周长最小，理由见解析；∠EDC=30°；(3) DN长度的最小值为1.

【解析】

（1）由等腰直角△ABC、△ADE易证△BAD≌CAE，即可得出∠ECA＝∠B＝45°，进而求出∠ECD＝90°；

（2）证明△BAD≌△CAE（SAS），推出BD＝EC，∠ACE＝∠B＝60°推出CD＋EC＝CD＋BD＝BC，∠ECD＝60°＋60°＝120°，由△ECD的周长＝DE＋CD＋CE＝DE＋BC，BC为定值，推出DE最小时，△DCE的周长最小，根据AD⊥BC时DE最短即可解决问题；

（3）如图3中，取AC的中点H，连接DH，则△DCH是等边三角形．作HK⊥AD于K．证明△HCM≌△DCN（SAS），推出DN＝HM，推出HM最小时，DN的值最小，当HM与KH重合时，HM的值最小，依此求解．

解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠ADE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B＝∠ACE＝45°，

∴∠ECD＝45°＋45°＝90°；

（2）如图2，

∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠ADE＝60°，

∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝60°，

∴△BAD≌CAE（SAS），

∴BD＝EC，∠ACE＝∠B＝60°

∴CD＋EC＝CD＋BD＝BC，∠ECD＝60°＋60°＝120°，

∵△ECD的周长＝DE＋CD＋CE＝DE＋BC，

∵BC为定值，

∴DE最小时，△DCE得到周长最小，

∵DE＝AD，

∴AD⊥BC时，AD最小，此时BD＝CD＝CE，

∴∠EDC＝（180°120°）＝30°，

∴当点D运动到BC的中点时，△DEC周长最小，此时∠EDC＝30°；

（3）如图3中，取AC的中点H，连接DH，则△DCH是等边三角形．作HK⊥AD于K．

∵CH＝CD，CM＝CN，∠DCH＝∠MCN，

∴∠HCM＝∠DCN，

∴△HCM≌△DCN（SAS），

∴DN＝HM，

∴HM最小时，DN的值最小，

当HM与KH重合时，HM的值最小，KH＝AH＝1，

∴DN的长度的最小值为1．

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