Question

定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离.
已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四点.
（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____,
当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为______

（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式.
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M.
①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长;
②点D的坐标为(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x轴,垂足为H，是否存在m的值，使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）2；（2）（3）①16+4π②存在，m=1，m=3，m=

解：（1）2；。
（2）∵点B落在圆心为A，半径为2的圆上，∴2≤m≤6。
当4≤m≤6时，根据定义， d=AB=2。
当2≤m＜4时，如图，过点B作BE⊥OA于点E，
则根据定义，d=EB。
∵A(4，0)，B(m，n)，AB=2，∴EA=4－m。
∴ 
。
∴。
（3）①如图，由（2）知，当点B在⊙O的左半圆时，d="2" ，此时，点M是圆弧M₁M₂，长2π；
当点B从B₁到B₃时，d="2" ，此时，点M是线段M₁M₃，长为8；
同理，当点B在⊙O的左半圆时，圆弧M₃M₄长2π；点B从B₂到B₄时，线段M₁M₃=8。
∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为16+4π。

②存在。如图，
由A(4，0)，D(0，2), 得。
（i）∵M₁H₁=M₂H₂=2，
∴只要AH₁=AH₂="1," 就有△AOD∽△M₁H₁A和△AOD∽△M₂H₂A，此时OH₁=5，OH₂=3。
∵点M为线段BC的中点, BC=4，
∴OH₁=5时，m=3；OH₂=3时，m=1。
（ii）显然，当点M₃与点D重合时，△AOD∽△AH₃M₃，此时m=－2, 与题设m≥0不符。
（iii）当点M₄右侧圆弧上时，连接FM₄，其中点F是圆弧的圆心，坐标为（6，0）。
设OH₄="x," 则FH₄= x－6。
又FM₄=2，∴。
若△AOD∽△A H₂M₂，则,即,
解得（不合题意，舍去）。此时m=。
若△AOD∽△M₂H₂ A，则,即,
解得（不合题意，舍去）。
此时,点M₄在圆弧的另一半上，不合题意，舍去。
综上所述，使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似的m的值为：m=1，m=3，m=。
（1）根据定义，当m=2，n=2时，线段BC与线段OA的距离是点A到BC的距离2。当m=5，n=2时，线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长) 可由勾股定理求出：。
（2）分2≤m＜4和4≤m≤6两种情况讨论即可。
（3）①由（2）找出点M随线段BC运动所围成的封闭图形即可。
②由（2）分点M在线段上和圆弧上两种情况讨论即可。