Question

【题目】在小学，我们知道正方形具有性质“四条边都相等，四个内角都是直角”，请适当利用上述知识，解答下列问题：
已知：如图，在正方形ABCD中，AB=4，点G是射线AB上的一个动点，以DG为边向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于点H．

（1）填空：∠AGD+∠EGH=°；
（2）若点G在点B的右边．
①求证：△DAG≌△GHE；
②试探索：EH﹣BG的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
（3）连接EB，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求∠EBH的度数；若点G是直线AB上的一个动点，其余条件不变，请直接写出点A与点F之间距离的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）90
（2）

解：①∵EH⊥AB，

∴∠GHE=90°，

∴∠GEH+∠EGH=90°，

又∠AGD+∠EGH=90°，

∴∠GEH=∠AGD，

∵四边形ABCD与四边形DGEF都是正方形，

∴∠DAG=90°，DG=GE，

∴∠DAG=∠GHE，

在△DAG和△GHE中， ，

∴△DAG≌△GHE（AAS）；

②EH﹣BG的值是定值，

理由如下：

由①证得：△DAG≌△GHE，

∴AG=EH，

又AG=AB+BG，AB=4，

∴EH=AB+BG，EH﹣BG=AB=4

（3）

解：下面分两种情况讨论：

（I）当点G在点B的左侧时，如图1，同（2）①可证得：△DAG≌△GHE，

∴GH=DA=AB，EH=AG，

∴GB+BH=AG+GB，

∴BH=AG=EH，又∠GHE=90°

∴△BHE是等腰直角三角形，

∴∠EBH=45°；

（II）如图2，当点G在点B的右侧时，

由（2）①证得：△DAG≌△GHE．

∴GH=DA=AB，EH=AG，

∴AB+BG=BG+GH，

∴AG=BH，又EH=AG

∴EH=HB，又∠GHE=90°

∴△BHE是等腰直角三角形，

∴∠EBH=45°；

（ III）当点G与点B重合时，如图3，同理可证：△DAG≌△GHE，

∴GH=DA=AB，EH=AG=AB，

∴△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，

∴∠EBH=45°

综上，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，∠EBH都等于45°，

∴点A与点F之间距离的最小值为4．

【解析】解：（1）∵四边形DGEF是正方形，
∴∠DGE=90°，
∴∠AGD+∠EGH=180°﹣∠DGE=90°，
所以答案是：90；
【考点精析】解答此题的关键在于理解正方形的性质的相关知识，掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．