Question

如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB，延长AB交DC于点E．
（1）判定直线DE与圆O的位置关系，并说明你的理由；
（2）求证：AC²=AD•AB；
（3）以下两个问题任选一题作答．（若两个问题都答，则以第一问的解答评分）
①若CF⊥AB于点F，试讨论线段CF、CE和DE三者的数量关系；
②若EC=5，EB=5，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）解：DE是⊙O的切线．
连接OC，
∵OA、OC是⊙O的半径，
∴∠OAC=∠OCA．
∵AC是∠DAB的平分线，
∴∠OAC=∠CAD．
∴∠OCA=∠CAD．
∴OC∥AD．
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE．
故DE是⊙O的切线．

（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵AD⊥DE，∠ADC=90°，
∴∠ACB=∠ADC．
∵∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB．
∴AC²=AD•AB．

（3）解：①CF+CE=DE．
∵AC是∠DAB的平分线，且CD⊥AD、CF⊥AF，
∴CF=CD．
∵DC+CE=DE，
∴CF+CE=DE．
②∵DE是⊙O的切线，
∴∠BCE=∠CAB．
∵∠CEB=∠CEB，
∴△BCE∽△CAE．
∴．
∴AE=15，AB=10，，即CA=BC．
则在Rt△ABC中，由CA²+BC²=AB²解得：
BC=5，CA=5．
∴S_△ABC=．
∴阴影部分的面积=半圆的面积-S_△ABC=．
分析：（1）DE是⊙O的切线．需连接OC，证明OC⊥DE即可；
（2）证明△DAC∽△CAB即可；
（3）①CF+CE=DE，由角平分线的性质可得，CF=CD，而DC+CE=DE，故CF+CE=DE；
②根据阴影部分的面积=半圆的面积-S_△ABC，即可求解．
点评：此题综合考查了相似三角形的判定，切线的判定和圆周角定理的综合运用．