Question

16．已知点O是正方形ABCD对角线BD的中点．
（1）如图1，若点E是OD的中点，点F是AB上一点，且使得∠CEF=90°，过点E作ME∥AD，交AB于点M，交CD于点N．
①∠AEM=∠FEM；  ②点F是AB的中点；
（2）如图2，若点E是OD上一点，点F是AB上一点，且使$\frac{DE}{DO}$=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，请判断△EFC的形状，并说明理由；
（3）如图3，若E是OD上的动点（不与O，D重合），连接CE，过E点作EF⊥CE，交AB于点F，当$\frac{DE}{DB}$=$\frac{m}{n}$时，请猜想$\frac{AF}{AB}$的值（请直接写出结论）．

Answer 1

分析 （1）①由正方形的性质得出∠ABD=45°，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AE=CE，由HL证明Rt△AME≌Rt△ENC，得出∠AEM=∠ECN，再由角的互余关系即可得出结论；
②由三角形内角和定理得出∠EAF=∠EFA，证出AE=FE，由等腰三角形的性质得出AM=FM，AF=2AM，求出$\frac{DE}{DB}$=$\frac{1}{4}$，由平行线分线段成比例定理得出$\frac{AM}{AB}=\frac{DE}{DB}$=$\frac{1}{4}$，得出$\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，即可得出结论；
（2）过点E作ME∥AD，交AB于点M，交CD于点N．同（1）得：AE=CE，Rt△AME≌Rt△ENC，得出∠AEM=∠ECN，∵$\frac{DE}{DO}$=$\frac{1}{3}$，O是DB的中点，证出$\frac{AM}{AB}=\frac{DE}{DB}$=$\frac{1}{6}$，得出AF=2AM，即M是AF的中点，由线段垂直平分线的性质得出AE=FE，证出∠AEM=∠FEM，FE=CE，由角的互余关系证出∠CEF=90°，即可得出结论；
（3）同（1）即可得出答案．

解答 （1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AE=CE，
∵ME∥AD，
∴ME⊥AB，∠AME=∠BME=∠BAD=90°，∠ENC=∠ADC=90°，
∴△BME是等腰直角三角形，四边形BCNM是矩形，
∴BM=EM，BM=CN，
∴EM=CN，
在Rt△AME和Rt△ENC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CE}\\{EM=CN}\end{array}\right.$，
∴Rt△AME≌Rt△ENC（HL），
∴∠AEM=∠ECN，
∵∠CEF=90°，
∴∠FEM+∠CEN=90°，
∵∠ECN+∠CEN=90°，
∴∠FEM=∠ECN，
∴∠AEM=∠FEM；
②在△AME和△FME中，∠AME=∠FME=90°，∠AEM=∠FEM，
∴∠EAF=∠EFA，
∴AE=FE，
∵ME⊥AF，
∴AM=FM，
∴AF=2AM，
∵点E是OD的中点，O是BD的中点，
∴$\frac{DE}{DB}$=$\frac{1}{4}$，
∵ME∥AD，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{DE}{DB}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴点F是AB的中点；
（2）解：△EFC是等腰直角三角形；理由如下：
过点E作ME∥AD，交AB于点M，交CD于点N．如图所示：
同（1）得：AE=CE，Rt△AME≌Rt△ENC，
∴∠AEM=∠ECN，
∵$\frac{DE}{DO}$=$\frac{1}{3}$，O是DB的中点，
∴$\frac{DE}{DB}$=$\frac{1}{6}$，
∵ME∥AD，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{DE}{DB}$=$\frac{1}{6}$，
∵$\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴AF=2AM，即M是AF的中点，
∵ME⊥AB，
∴AE=FE，
∴∠AEM=∠FEM，FE=CE，
∵∠ECN+∠CEN=90°，
∴∠FEM+∠CEN=90°，
∴∠CEF=90°，
∴△EFC是等腰直角三角形；
（3）解：当$\frac{DE}{DB}$=$\frac{m}{n}$时，$\frac{AF}{AB}$=$\frac{2m}{n}$；理由同（1）．

点评 本题是综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、等腰直角三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．