Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一点，且＝，连接FB，FD，FD交AB于点N．

（1）若AE＝1，CD＝6，求⊙O的半径；

（2）求证：△BNF为等腰三角形；

（3）连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点M．求证：ONOP＝OEOM．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）连接BC，AC，AD，通过证明△ACE∽△CEB，可得，可求BE的长，即可求⊙O的半径；

（2）通过证明△ADE≌△NDE，可得∠DAN＝∠DNA，即可证BN＝BF，可得△BNF为等腰三角形；

（3）通过证明△ODE∽△ODM，可得DO2＝OEOM，通过证明△PCO∽△CNO，可得CO2＝POON，即可得结论．

解：（1）如图1，连接BC，AC，AD，

∵CD⊥AB，AB是直径

∴，CE＝DE＝CD＝3

∴∠ACD＝∠ABC，且∠AEC＝∠CEB

∴△ACE∽△CEB

∴,即,

∴BE＝9

∴AB＝AE+BE＝10

∴⊙O的半径为5

（2）∵，

∴∠ACD＝∠ADC＝∠CDF，且DE＝DE，∠AED＝∠NED＝90°

∴△ADE≌△NDE（ASA）

∴∠DAN＝∠DNA，AE＝EN

∵∠DAB＝∠DFB，∠AND＝∠FNB

∴∠FNB＝∠DFB

∴BN＝BF，

∴△BNF是等腰三角形

（3）如图2，连接AC，CE，CO，DO，

∵MD是切线，

∴MD⊥DO，

∴∠MDO＝∠DEO＝90°，∠DOE＝∠DOE

∴△MDO∽△DEO

∴，

∴OD2＝OEOM

∵AE＝EN，CD⊥AO

∴∠ANC＝∠CAN，

∴∠CAP＝∠CNO，

∵，

∴∠AOC＝∠ABF

∵CO∥BF

∴∠PCO＝∠PFB

∵四边形ACFB是圆内接四边形

∴∠PAC＝∠PFB

∴∠PAC＝∠PFB＝∠PCO＝∠CNO，且∠POC＝∠COE

∴△CNO∽△PCO

∴，

∴CO2＝PONO，

∴ONOP＝OEOM．