Question

已知实数a，b满足a²+b²=1，则a⁴+ab+b⁴的最小值为（　　）

• A．-

  1

  8

• B．0
• C．1
• D．

  9

  8

Answer 1

分析：利用完全平方公式把a⁴+ab+b⁴配成关于ab的二次三项式，再根据平方数非负数（a-b）²=a²-2ab+b²求出ab的取值范围，然后根据二次函数的最值问题解答．

解答：解：∵（a-b）²=a²-2ab+b²≥0，
∴2|ab|≤a²+b²=1，
∴-

1

2

≤ab≤

1

2

，
令y=a⁴+ab+b⁴=（a²+b²）²-2a²b²+ab=-2a²b²+ab+1=-2（ab-

1

4

）²+

9

8

，
当-

1

2

≤ab≤

1

4

时，y随ab的增大而增大，
当

1

4

≤ab≤

1

2

时，y随ab的增大而减小，
故当ab=-

1

2

时，a⁴+ab+b⁴的最小值，为-2（-

1

2

-

1

4

）²+

9

8

=-2×

9

16

+

9

8

=0，
即a⁴+ab+b⁴的最小值为0，当且仅当|a|=|b|时，ab=-

1

2

，此时a=-

2

2

，b=

2

2

，或 a=

2

2

，b=-

2

2

．
故选B．

点评：本题考查了二次函数的最值问题，完全平方公式，配方成关于ab的形式并求出ab的取值范围是解题的关键．