Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=10（AB＞AD），AD与BC之间的距离为6，点E在线段AB上移动，以E为圆心，AE长为半径作⊙E．

（1）如图1，若E是AB的中点，求⊙E在AD所在的直线上截得的弦长；
（2）如图2，若⊙E与BC所在的直线相切，求AE的长．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,平行四边形的性质,垂径定理

专题：

分析：（1）设AD和圆相交于F，连接BF，由圆周角定理可得BF⊥AD，所以BF=8，根据勾股定理即可求出AF的长；
（2）过点B作BM⊥AD于点M，连接EF．利用平行线AD∥CB的性质推知内错角∠DAB=∠ABM；然后在Rt△ABM和Rt△BEG中根据三角函数的定义求得比例式，利用比例的性质即可求得AE的值．

解答：解：（1）设AD和圆相交于F，连接BF，
∵AB是圆的直径，
∴∠AFB=90°，
∴BF⊥AD，
∵AD与BC之间的距离为6，
∴BF=6，
∴AB=10，
∴AF=

102-62

=8；
（2）过点B作BM⊥AD于点M，连接EG．
∵AD与BC之间的距离为6，
∴BM=6；
∴sin∠DAB=

BM

AB

=

3

5

；
又∵CG是⊙E的切线，
∴EG⊥CG，
∴cos∠BEG=

EG

BE

；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC（平行四边形的对边相互平行），
∴∠DAB=∠ABG（两直线平行，内错角相等）；
∵AE=EG（⊙E的半径），
∴

BM

AB

=

AE

BE

即

3

5

=

AE

BE

，
∴AE=

15

4

．

点评：本题考查了圆的综合题：解直角三角形、切线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是恰当的添加辅助线，构造直角三角形．