Question

13．如图，AB是⊙O的直径，C是$\widehat{BG}$的中点，CD⊥AB于D，BG交CD、AC与E、F．求证：
①CD=$\frac{1}{2}$BG；BE=EF=CE；GF=2DE；
②OE=$\frac{1}{2}$AF，OE∥AC；即OE是△ABF的中位线；
③若D是OB的中点，则△CEF是等边三角形．

Answer 1

分析 ①连接AG、BC、CO，作FK⊥AB于K，由圆周角定理和垂径定理得出∠BAC=∠GAC，OC⊥BG，BH=GH=$\frac{1}{2}$BG，由△BOC的面积=$\frac{1}{2}$OB•CD=$\frac{1}{2}$OC•BH，得出CD=BH=$\frac{1}{2}$BG；由垂心得出OE⊥BC，证出OE∥AC，由平行线得出BE=EF，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=$\frac{1}{2}$BF=BE=EF；由平行线证出KD=BD，由三角形中位线定理得出FK=2DE，由角平分线的性质定理得出GF=FK=2DE；
②证明OE是△ABF的中位线，得出OE=$\frac{1}{2}$AF，OE∥AC即可；
③由线段垂直平分线的性质得出OC=BC，证出△BOC是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠BOC=∠BCO=60°，∠OCD=30°，由圆周角定理和等腰三角形的性质得出∠OCA=∠BAC=30°，得出∠ECF=60°，即可得出结论．

解答 证明：连接AG、BC、CO，作FK⊥AB于K，如图所示：
①∵C是$\widehat{BG}$的中点，
∴$\widehat{BC}=\widehat{GC}$，
∴∠BAC=∠GAC，OC⊥BG，BH=GH=$\frac{1}{2}$BG，
∵OB=OC，△BOC的面积=$\frac{1}{2}$OB•CD=$\frac{1}{2}$OC•BH，
∴CD=BH=$\frac{1}{2}$BG；
∵BH⊥OC，CD⊥OB，
∴E是△BOC的垂心，
∴OE⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴OE∥AC，
∵OA=OB，
∴BE=EF，
∵∠BCF=90°，
∴CE=$\frac{1}{2}$BF=BE=EF；
∵CD⊥AB，FK⊥AB，
∴CD∥FK，
∵BE=EF，
∴KD=BD，
∴FK=2DE，
∵∠BAC=∠GAC，FG⊥AG，FK⊥AB，
∴GF=FK=2DE；
②∵OA=OB，BE=EF，
∴OE是△ABF的中位线，
∴OE=$\frac{1}{2}$AF，OE∥AC；
③∵D是OB的中点，CD⊥OB，
∴OC=BC，
又∵OB=OC，
∴OC=BC=OB，即△BOC是等边三角形，
∴∠BOC=∠BCO=60°，∠OCD=30°，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠BAC=30°，
∴∠ECF=30°+30°=60°，
∵EF=CE，
∴△CEF是等边三角形．

点评 本题考查了三角形中位线定理、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度．