Question

“6”字形图中，FM是大⊙O的直径，BC与大⊙O相切于B，OB与小⊙O相交于A，AD∥BC，CD∥BH∥FM，DH⊥BH于H，设∠FOB=α，OB=4，BC=6．
（1）求证：AD为小⊙O的切线；
（2）在图中找出一个可用α表示的角，并说明你这样表示的理由；（根据所写结果的正确性及所需推理过程的难易程度得分略有差异）
（3）当α=30°时，求DH的长．（结果保留根号）

Answer 1

【答案】分析：（1）求证AD是小⊙O的切线，证OA⊥AD即可．由于BC是大⊙O的切线，可得OB⊥BC，而BC∥AD，即可证得OA⊥AD；
（2）大致有四种角：
①与α的度数相等；由于BH∥FM，则∠GBA=∠FOB=α，而∠GBA、∠GDH是等角的余角，因此∠GDH=α．所以∠GBA=∠GDH=α；
②度数为90°-α的角；在Rt△ABG中，∠AGB=90°-α，而∠DGH和∠BGA是对顶角，故∠DGH=90°-α；由于DG∥BC，则同位角∠DGH=∠CBG；在平行四边形CBGD中，对角∠CBG=∠D；故度数为90°-α的角有：∠AGB=∠DGH=∠CBG=∠D=90°-α；
③度数为90°+α的角；∠BGD是△ABG的外角，则∠C=∠BGD=90°+α；
④度数为180°-α的角；由于∠FOB和∠BOM互补，则∠BOM=180°-α；
（3）由（2）知：四边形BGDC是平行四边形，则BC=DG=6，而∠GDH=α=30°，通过解直角三角形即可求出DH的长．
解答：（1）证明：∵BC是大⊙O的切线，
∴∠CBO=90°．
∵BC∥AD，
∴∠BAD=90°即OA⊥AD．
又∵点A在小⊙O上，
∴AD是小⊙O的切线．

（2）解：（答案不唯一）所写结果分层如下：
A层次：①∠BOM=180°-α；②∠GBO=α；③∠BGA=90°-α；④∠DGH=90°-α；⑤∠CBG=90°-α；⑥∠BGD=90°+α；
B层次：⑦∠GDH=α；⑧∠CDA=90-α；⑨∠C=90°+α
相应的说明过程如下：
A层次：选③
理由：∵BH∥FM，∴∠GBO=∠FOB=α．
由（1）可知，∠BAG=90°，∴∠BGA=90°-α．
B层次：选⑨
理由：∵BH∥FM，∴∠GBO=∠FOB=α．
由（1）可知，∠BAG=90°，
∴∠BGA=90°-α．
∵CD∥BG，∴∠CDG=∠BGA=90°-α．
∵CB∥AD，
∴∠C=180°-∠CDG=180°-（90°-α）=90°+α．

（3）解：∵CD∥BG，CB∥DG，
∴四边形BGDC是平行四边形．
∴DG=BC=6，
由（2）⑦得：∠GDH=α=30°，
又∠DGH=90°-∠GDH=90°-30°=60°，
∵∠DHG=90°，
∴DH=DG•sin∠DGH=sin60°×6=3．
点评：此题主要考查的是学生对基础知识的掌握，涉及的知识点有：切线的判定和性质、平行四边形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质以及解直角三角形的应用等．