Question

4．已知x，y是互不相同的质数，若$\frac{621xy}{x+y}$是整数，则有序数对（x，y）的个数是（　　）

• A． 8
• B． 6
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 先将621分解因数，由于，$\frac{621xy}{x+y}$是整数，得出（x+y）只是621xy的约数，即可得出9个二元不定方程，针对于前8个，x+y是奇数，要使两个数的和是奇数，这两个加数中必有一个为偶数，而x，y是质数，偶数中只有2是质数，即，x，y中必有一个是2，求出另一个加数，再判断它是否是不同的质数，即可得出结论，针对于最后一个，用y表示出x，用x，y都是整数即可求出x，y的值，再判断是否是不同的质数，即可．

解答 解：621=3×207=9×69=23×27=1×621，
∵$\frac{621xy}{x+y}$是整数，且x，y是互不相同的质数，
∴（x+y）只是621xy的约数，
∴①x+y=3，当x=2时，y=3-x=1，而1不是质数，此种情况不符合题意，
同理：y=2时，也不符合题意，即：此种情况中不存在有序数对（x，y）；
②x+y=207，当x=2时，y=207-x=205，而205不是质数，此种情况不符合题意，
同理：y=2时，也不符合题意，即：此种情况中不存在有序数对（x，y）；
③x+y=9，∵当x=2时，y=9-x=7，而7是不等于2的质数，
∴有序数对为（2，7），
同理：当y=2时，有序数对为（7，2），共两种；
④x+y=69，∵当x=2时，y=69-x=67，而67是不等于2的质数，
∴有序数对为（2，67），
同理：当y=2时，有序数对为（67，2），共两种；
⑤x+y=23，当x=2时，y=23-x=21，而21不是质数，此种情况不符合题意，
同理：y=2时，也不符合题意，即：此种情况中不存在有序数对（x，y）；
⑥x+y=27，当x=2时，y=27-x=5，而25不是质数，此种情况不符合题意，
同理：y=2时，也不符合题意，即：此种情况中不存在有序数对（x，y）；
⑦x+y=1，∵x，y是互不相同的质数，此种情况不存在两个质数的和为1；
⑧x+y=621，∵当x=2时，y=621-x=619，而619是不等于2的质数，
∴有序数对为（2，619），
同理：当y=2时，有序数对为（619，2），共两种；
⑨x+y=xy，∴x=$\frac{y}{y-1}$，
∵x，y是整数数，
∴y-1=1，
∴y=2，
∴x=2，
∵x，y是互不相同的质数，所以舍去．
即：满足条件的有序数对（x，y）有（2，7），（7，2），（2，67），（67，2），（2，691），（619，2），共6种，
故选B．

点评 此题是质数与合数，主要考查了数的分解因数，一元一次方程的解法，确定出$\frac{621xy}{x+y}$是整数的x，y满足的条件是解本题的关键，而判断出两个质数的和是奇数时，必有一个加数是质数2，是解本题的难点，此题用到分类讨论的思想，是一道很好的竞赛题．