Question

某企业研发生产一种套装环保设备，计划每套成本不高于50万元，且每月的产量不超过40套．已知这种设备的月产量x（ 套）与每套的售价y₁（万元）之间满足关系式y_l=170-2x，月产量x（套）与生产总成本y₂（万元）存在如图所示的一次函数关系，
（1）求y₂与x之间的函数关系式；
（2）求月产量x的范围；
（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）设函数关系式为y₂=kx+b，把（30，1400）（40，1700）代入求解即可；
（2）根据题中条件“每套产品的生产成本不高于50万元”，列出不等式求解月产量x的范围；
（3）根据等量关系“设备的利润=每台的售价×月产量-生产总成本”列出函数关系式求得最大值．
解答：解：（1）设函数关系式为y₂=kx+b，把坐标（30，1400）（40，1700）代入，
 30k+b=1400 40k+b=1700  解得：k=30 b=500  
∴函数关系式y₂=30x+500；

（2）依题意得：500+30x≤50x 解得x≥25，则25≤x≤40；

（3）∵W=x•y₁-y₂=x（170-2x）-（500+30x）=-2x²+140x-500
∴W=-2（x-35）²+1950
∵35＞25，
∴当x=35时，W_最大=1950（万元）．
答：当月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元．
点评：本题考查了函数关系式及其最大值的求解，同时还有自变量取值范围的求解．