Question

已知：如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从A，C处同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
问：（1）P，Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积是33cm²；
（2）P，Q两点从出发开始到几秒，在AB上存在一点M，使△PMQ为等边三角形？

Answer 1

解：（1）设P、Q两点从出发开始x秒时，四边形PBCQ的面积是33cm，则AP=3x，PB=16-3x，CQ=2x；由梯形的面积公式，可得：
[2x+（16-3x）]×6÷2=33
解得：x=5
答：P、Q两点从出发开始5秒时，四边形PBCQ的面积是33cm²

（2）过Q作QN⊥AB于N，设运动的时间为t，那么AP=3t，CQ=CN=2t，
当P在Q上方时如图（1），PN=AB-CQ-AP=16-5t．
由于三角形PQM是等边三角形，那么∠NPQ=60°，NQ=PN
6=×（16-5t）
t=（秒）
当P在Q下面时如图（2），PN=AP-DQ=3t-（16-2t）=5t-16
由于三角形PQM是等边三角形，那么∠NPQ=60°，NQ=PN
6=×（5t-16）
t=（秒）
答：当t为秒时，三角形PQM是等边三角形．
分析：（1）可先设出这个时间，然后用时间表示出四边形PBCQ（也就是直角梯形PBCQ）的两底PB，CQ的值，然后已知了高BC的值，那么可用含时间的未知数的式子表示出四边形PBCQ的面积，然后根据其面积是33，来得出时间的值．
（2）可分两种情况进行讨论，当P在Q上方时，过Q引AB的垂线，由于PQM是等边三角形，那么我们可以用t的值表示出PM的一半，然后根据∠QPM=60°，用正切函数表示出等边三角形底边一半与底边上的高的比，然后根据AD的长求出t的值．
当P在Q下方时，方法同上，只不过表示等边三角形底边一半的时候稍有不同．
点评：本题主要考查了矩形的性质以及等边三角形的判定等知识点．