如 图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥AB点D,BC=10cm,AD=8cm,点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0)。
(1)当t=2时,连接DE、DF,求证:四边形AEDF为菱形;
(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长;
(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值,若不存在,请说明理由。
题25-1图 题25备用图
解:(1)当t=2时,DH=AH=4,由AD⊥AB,AD⊥EF可知EF∥BC
∴ ,
又∵ AB=AC,AD⊥BC
∴ BD=CD
∴ EH=FH
∴ EF与AD互相垂直平分
∴ 四边形AEDF为菱形
(2)依题意得DH=2t,AH=8-2t,BC=10cm,AD=8cm,由EF∥BC知△AEF∽△ABC
∴ 即,解得
∴
即△PEF的面积存在最大值10cm2,此时BP=3×2=6cm。
(3)过E、F分别作EN⊥BC于N,EM⊥BC于M,易知EF=MN=
EN=FM,由AB=AC可知BN=CM=
在和中,由, 即,
解得,又由知,
,
则 ,
分三种情况讨论:
①若∠EPF=90°,则,解得,(舍去)
②若∠EFP=90°,则,解得,(舍去)
③若∠FEP=90°,则,解得,(均舍去)
综上所述,当或时,△PEF为直角三角形。
科目:初中数学 来源: 题型:
如图,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的:分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径画弧,相交于点C,D,则直线CD即为所求。连结AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知,四边形ADBC一定是
A. 矩形 B. 菱形
C. 正方形 D. 等腰梯形
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科目:初中数学 来源: 题型:
如题20图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°,然后沿AD方向前行10m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角高度为60°(A、B、D三点在同一直线上)。请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度(结果精确到0.1m)。(参考数据:≈1.414,≈1.732)
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