Question

在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠AOB=α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．
（1）当四边形ABCD为矩形时，如图1．求证：△AOC′≌△BOD′．
（2）当四边形ABCD为平行四边形时，设AC=kBD，如图2．
①猜想此时△AOC′与△BOD′有何关系，证明你的猜想；
②探究AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并给予证明．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据矩形的性质及角之间的关系证明△BOD′≌△AOC′；
（2）①先进行假设，然后根据平行四边形的性质及相似三角形比例关系即可得出答案；
②易证△BOD′≌△C′OA，则AC′=BD′，∠OBD′=∠OC′A≠∠OAC′，从而得出∠AMB=α．

解答：（1）证明：在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC=

1

2

AC，OB=OD=

1

2

BD，
∴OA=OC=OB=OD，
又∵OD=OD′，OC=OC′，
∴OB=OD′=OA=OC′，
∵∠D′OD=∠C′OC，
∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC，
∴∠BOD′=∠AOC′，
∴在△BOD′和△AOC′中，

OA=OB ∠BOD′=∠AOC′ OD′=OC′

∴△BOD′≌△AOC′；

（2）解：①△AOC′∽△BOD′；理由如下：
∵在平行四边形ABCD中，OB=OD，OA=OC，
又∵OD=OD′，OC=OC′，
∴OC′=OA，OD′=OB，
∵∠D′OD=∠C′OC，
∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC，
∴∠BOD′=∠AOC′，
∴△BOD′∽△AOC′，
∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC，
∵AC=kBD，
∴AC′=kBD′，
∴△BOD′∽△AOC′；
②AC′=kBD′，∠AMB=α；
设BD′与OA相交于点N，
∴∠BNO=∠ANM，
∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO，即∠AMB=∠AOB=α，
综上所述，AC′=kBD′，∠AMB=α；

点评：本题主要考查了矩形、平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质以及角之间的关系，综合性强，难度较大．