Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，已知∠D=30°．

（1）求∠A的度数；
（2）若点F在⊙O上，CF⊥AB，垂足为E，CF= ，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OC，

∵CD切⊙O于点C

∴∠OCD=90°

∵∠D=30°

∴∠COD=60°

∵OA=OC

∴∠A=∠ACO=30°

（2）解：∵CF⊥直径AB，CF=

∴CE=

∴在Rt△OCE中，tan∠COE= ，

OE= = =2，

∴OC=2OE=4

∴S扇形BOC= ，

∴S阴影=S扇形BOC﹣S△EOC= ．

【解析】（1）连接OC，则△OCD是直角三角形，可求出∠COD的度数；由于∠A与∠COD是同弧所对的圆周角与圆心角．根据圆周角定理即可求得∠A的度数；（2）由图可知：阴影部分的面积是扇形OCB和Rt△OEC的面积差；那么解决问题的关键是求出半径和OE的长；在Rt△OCE中，∠OCE=∠D=30°，已知了CE的长，通过解直角三角形，即可求出OC、OE的长，由此得解．
【考点精析】利用切线的性质定理和扇形面积计算公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）．