Question

19．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．若tan∠ACB=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，BC=2，则⊙O的半径为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

Answer 1

分析 连接EF，易证得△ABC∽△EDC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DE的长，由勾股定理，求得AC的长，继而求得答案．

解答 解：连接EF，
∵∠ACB=∠DCE，∠B=∠D=90°，
∴△ABC∽△EDC，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BC}{CD}$，即$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵BC=2，
∴AB=CD=$\sqrt{2}$，
∴DE=1，
∴AE=DE，
∵AF为直径，
∴EF⊥AD，
∴EF∥CD，
∴AF=CF，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{2}$，BC=2，
∴AC=$\sqrt{6}$，
∴⊙O的半径OA=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{4}$AC=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 此题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．