Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=15，tanA=

4

3

，E为线AC上一点（不与A、C重合），过点E作ED⊥AC交线段AB于点D，将△ADE沿着直线DE翻折，A的对应点G落在射线AC上，线段DG与线段BC交于点M．
（1）若BM=8，求证：EM∥AB；
（2）设EC=x，四边形的ADMC的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出定义域．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数先在Rt△ACB中，求出AC=9，BC=12，MC=4．再在Rt△MCG中，求出CG=3．可得AG=12，EC=3，AE=6，根据平行线分线段成比例即可证明EM∥AB；
（2）根据S_ADMC=S_△ABC-S_△DBM，即可得出S关于x的函数解析式．

解答：解：（1）在Rt△ACB中，tanA=

BC

AC

=

4

3

，设AC=3k，BC=4k，（1分）
则AB=

AC2+BC2

=

(3k)2+(4k)2

=5k，AB=5k=15，k=3．
∴AC=9，BC=12．（2分）
∵BM=8，
∴MC=4（1分）
在Rt△MCG中，tanG=tanA=

MC

GC

=

4

3

，
∴CG=3．（1分）
∴AG=12，EC=3，AE=6．（1分）
∵

CM

BM

=

EC

AE

=

1

2

，
∴EM∥AB；（1分）

（2）EC=x，由题意有EG=AE=9-x，则CG=9-2x，（1分）
CM=

4

3

(9-2x)，BM=12-

4

3

（9-2x），（1分）
S_ADMC=54-

1

2

[12-

4

3

(9-2x)]•x=-

4

3

x2+54（0＜x＜4.5）．（3分）

点评：本题综合考查了平行线分线段成比例，三角函数的知识及组合图形的面积之间的关系，函数解析式，有一点的难度．