Question

如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）若P在坐标轴上，且以点E、F、C、P为顶点的四边形是梯形，求点P的坐标；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，可以知道四边形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=2，则CF=3-2=1，因而E、F的坐标就可以求出．
（2）由于P点位置不能确定，故应分点P在x轴上与y轴上两种情况进行讨论；
（3）作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．求出线段E′F′的长度，就是四边形MNFE的周长的最小值．

解答：解：（1）E（3，1）；F（1，2）．

（2）如图1所示，当点P在y轴上时，
∵EF与OC不可能平行，
∴PE∥CF，
∵E（3，1），
∴P（0，1）；
当点P在x轴上时，如图2所示，
∵CF∥x轴，点E（3，1），
∴EF∥PC，
设P（n，0），直线EF的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵E（3，1），F（1，2），
∴

3k+b=1 k+b=2

，解得

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴直线EF的解析式为y=-

1

2

x+

5

2

，
∴设直线PC的解析式为y=-

1

2

x+a，
∵C（0，2），
∴a=2，
∴直线PC的解析式为y=-

1

2

x+2，
把P（n，0），代入得，-

1

2

n+2=0，解得n=4，
∴P（4，0）．
综上所述，P（0，1）或（4，0）；

（3）存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小．
如图3，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，
连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．
∴E′（3，-1），F′（-1，2），NF=NF′，ME=ME′．
∴BF′=4，BE′=3．
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′=

32+42

=5．
又∵EF=

5

，
∴FN+MN+ME+EF=5+

5

，
此时四边形MNFE的周长最小值是5+

5

．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，求线段的和最小的问题基本的解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题．