Question

先阅读下面材料，然后解答问题：
王老师在黑板上出了这样一道习题：设方程2x²-5x+k=0的两个实数根是x₁，x₂，请你选取一个适当的k值，求

x2

x1

+

x1

x2

的值．
小明同学取k=4，则方程是2x²-5x+4=0．
由根与系数的关系，得x₁+x₂=

5

2

，x₁x₂=2．
∴

x2

x1

+

x1

x2

=

x22+x12

x1x2

=

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

=

25 4 -2×2

2

=

9

8

即

x2

x1

+

x1

x2

=

9

8

．
问题（1）：请你对小明解答的正误作出判断，并说明理由．
问题（2）：请你另取一个适当的正整数k，其它条件不变，不解方程，改求|x₁-x₂|的值．

Answer 1

分析：（1）使用根与系数的关系列式计算时要先判断该方程是否存在实根，然后再代入数值计算；
（2）要求|x₁-x₂|的值可以把它变形为|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

，然后利用根与系数的关系即可求出值．

解答：解：（1）小明的解法是错误的．
∵当k=4时，△=25-4×2×4=25-32=-7＜0，
∴方程2x²-5x+4=0没有实数根，
本题无解．
所以他选择的k不正确；

（2）（本题答案不唯一，k可以取1、2、3）
如：取k=3时，方程2x²-5x+3=0
∴△=25-4×2×3=25-24=1＞0
由根与系数关系得
x₁+x₂=

5

2

，x₁x₂=

3

2

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

25 4 -4× 3 2

=

1

2

．

点评：解题时一定要认真审题，周密考虑问题．在利用根与系数的关系解决问题时经常与根的判别式相联系．