Question

如图，已知点C在⊙O上，延长直径AB到点P，连接PC，∠COB=2∠PCB．

（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AC=PC，且PB=3，M是⊙O下半圆弧的中点，求MA的长．

Answer 1

（1）∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.　　　　
∴∠COB=2∠OCA.
         ∵
∴∠OCA=∠PCB．………………………1分
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°,   
∴∠OCA+∠OCB=90°．
∴∠PCB +∠OCB=90°．
∴∠PCO=90°, ………………………2分
∵点C在⊙O上，
∴PC是⊙O的切线. ………………………3分
(2) 连结BM．
∵M是⊙O下半圆弧中点  
∴ 弧AM=弧BM,
∴AM=BM．
∵AB是⊙O直径，
∴∠AMB=90°.
∴∠BAM=∠ABM =45°
∵AC=PC,
∴∠OAC=∠P=∠OCA=∠PCB.
∵OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB=2∠PCB.
∵∠PCO=90°,
∴∠PCB=∠P=∠OAC=∠OCA=30°.
∠OBC=∠OCB="60" °.
∵PB=3，
∴BC=3,
∴AB="6." ……………………………4分
在Rt△ABM中,∠AMB =90°,
根据勾股定理，得AM= .       ……………………………5分

略