Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，

AC

=

AD

，CD交AB于E，BF⊥l，垂足为F，BF交⊙O于G．
（1）图中哪条线段与AE相等？试证明你的结论．
（2）若tan∠CBF=

1

2

，AE=3，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）AE=GF．连接AC、CG，由于AB是直径，可知∠ACB=90°，再利用l是切线可知∠FCB=∠A，而∠BFC=∠ACB=90°，
易得∠ABC=∠CBF，又弧AC=弧AD，AB是直径，利用垂径定理的推论可知AB⊥CD，而BF⊥l，∠ABC=∠CBF，那么∠CEB=∠CFB=90°，利用AAS可证△CEB≌△CFB，那么CE=CF，利用圆内接四边形性质可知∠A=∠CGF，且∠AEC=∠GFC=90°，利用AAS可证△GFC≌△AEC，于是AE=GF；
（2）根据（1）以及弦切角定理可知∠CBF=∠CBA=∠FCG=∠ACE，而tan∠CBF=1/2，那么tan∠ACE=1/2，在△ACE中易求CE，再利用垂径定理可知CE²=AE•BE，易求BE，从而可求AB．

解答：解：（1）AE=GF．
证明：连接AC、CG，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
又∵BF⊥l，
∴∠ACB=∠CFB，
∵l是⊙O的切线，
∴∠FCB=∠A，
∴∠ABC=∠CBF，
∵

AC

=

AD

，AB是⊙O的直径，
∴CD⊥AB，
又∵BF⊥l，∠ABC=∠CBF，
∴∠CEB=∠CFB=90°，
∴△CEB≌△CFB，
∴CE=CF，
由圆内接四边形的性质可知∠A+∠CGB=180°，
又∠CGF+∠CGB=180°，
∴∠A=∠CGF，
∴△GFC≌△AEC，
∴AE=GF；

（2）∵∠CBF=∠CBA=∠FCG=∠ACE，tan∠CBF=

1

2

，
∴tan∠ACE=

1

2

，
又∵AE=3，
∴CE=6，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE²=AE•BE，
∴BE=12，
∴AB=15，
即⊙O的直径为15．

点评：本题考查了切线性质、全等三角形的判定和性质、垂径定理、弦切角定理．解题的关键是连接AC、CG，以及垂径定理的运用．