Question

我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形. 如图,
E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点.

(1) 求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2) 如果我们对四边形ABCD的对角线AC与BD添加一定的条件, 则可使四边形EFGH成为特殊的平行四边形, 请你经过探究后直接填写答案：
① 当AC＝BD时, 四边形EFGH为__________；
② 当AC____BD时, 四边形EFGH为矩形；
③ 当AC＝BD且AC⊥BD时, 四边形EFGH为__________.

Answer 1

（1）连接AC、BD，
因为H、G，分别为AD、DC的中点，
所以HG∥AC，
同理EF∥AC，
所以HG∥EF；
同理可知HE∥GF．
于是四边形EFGH是平行四边形．
（2）①由于对角线相等，
因为H，G，分别为AD、DC的中点，
所以HG=AC，
同理EF=AC，
所以HG=EF；
同理可知HE=BD，
GF=BD．
又因为AC=BD
所以HE=EF=FG=GH．
又因为是四边形EFGH是平行四边形．
所以四边形EFGH为菱形．
②由于四边形EFGH是平行四边形．
当AC⊥BD时，
HE⊥EF，
故四边形EFGH为矩形；
③由于四边形EFGH是平行四边形．
当AC⊥BD时，
HE⊥EF，
故四边形EFGH为矩形；
AC=BD时，
四边形EFGH为正方形．

先根据中位线定理证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得四边形是正方形．