Question

我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）在△ABC中，如果∠A是锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=

1

2

∠A．猜想图中哪个四边形是等对边四边形，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）等腰梯形，平行四边形等都是等对边四边形；
（2）过B作BF⊥CD交CD延长线于F，过C作CG⊥BE于G，证△CFB≌△BGC，推出BF=CG，求出∠BDF=∠GEC，证△BDF≌△CEG，推出BD=CE即可．

解答：解：（1）等腰梯形，如图：AB=DC．


（2）此时存在等对边四边形DBCE，
证明：过B作BF⊥CD交CD延长线于F，过C作CG⊥BE于G，

则∠BFC=∠CGB=90°，
∵在△CFB和△BGC中

∠BFC=∠BGC ∠FCB=∠GBC BC=BC

∴△CFB≌△BGC（AAS），
∴BF=CG，
∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A，
∠GEC=∠A+∠ABE，
∴∠BDF=∠GEC，
∵在△BDF和△CEG中

∠BFD=∠CGE=90° ∠BDF=∠GEC BF=CG

，
∴△BDF≌△CEG（AAS），
∴BD=CE，
即存在等对边四边形DBCE．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力和理解能力．