Question

已知函数S=|x-2|+|x-4|
（1）求S的最小值；
（2）若对任何实数x、y都有s≥m（-y²+2y）成立，求实数m的最大值．

Answer 1

解：（1）由绝对值的几何意义可得，数轴上一个点到点2和点4距离之和最小值为：4-2=2；
（2）∵-y²+2y=-（y-1）²+1，
∴当y=1时，有最大值1；
∵当m＜0时，不可能对任意实数y有m（-y²+2y）≤2，总成立，
∴m≥0，
又∵-y²+2y的最大值为1，
∴2≥m×1，即m≤2，
综上可得0≤m≤2，
即m的最大值为2．
分析：（1）可理解为数轴一个点上到点2和点4距离之和，从而可求出最小值．
（2）先确定-y²+2y的最大值，进而讨论m的值，使满足对任何实数x、y都有s≥m（-y²+2y）成立，从而可得出答案．
点评：此题考查了含绝对值的函数的最值，解答第一题的关键是理解绝对值的结合意义，解答第二题的关键是掌握二次函数的最值的求法，有一定难度，注意分步计算．