已知函数S=|x-2|+|x-4|
(1)求S的最小值;
(2)若对任何实数x、y都有s≥m(-y2+2y)成立,求实数m的最大值.
解:(1)由绝对值的几何意义可得,数轴上一个点到点2和点4距离之和最小值为:4-2=2;
(2)∵-y2+2y=-(y-1)2+1,
∴当y=1时,有最大值1;
∵当m<0时,不可能对任意实数y有m(-y2+2y)≤2,总成立,
∴m≥0,
又∵-y2+2y的最大值为1,
∴2≥m×1,即m≤2,
综上可得0≤m≤2,
即m的最大值为2.
分析:(1)可理解为数轴一个点上到点2和点4距离之和,从而可求出最小值.
(2)先确定-y2+2y的最大值,进而讨论m的值,使满足对任何实数x、y都有s≥m(-y2+2y)成立,从而可得出答案.
点评:此题考查了含绝对值的函数的最值,解答第一题的关键是理解绝对值的结合意义,解答第二题的关键是掌握二次函数的最值的求法,有一定难度,注意分步计算.