Question

已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，－a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为       .

Answer 1

分析：如图，∵OA=8，OB=6　∴AB=10。
分两种情况：
①CD是平行四边形的一条边，那么有CD= AB=10。
②CD是平行四边形的一条对角线，
根据平行四边形对角线互相平分的性质，CD必过AB的中点P。
由A（8，0），B（0，6）易得P（4，3）。
∵C（a，－a），∴点C在直线y=－x上。
如图，过点P作PH⊥直线y=－x于点H，则根据点到直线的边线中垂直线段最短的性质，PC=PH时最短，此时CD=2PH最小。

过B、A分别作直线y=－x的垂线AE，BF，则△AOE和△BOF都是等腰直角三角形，
∴根据勾股定理，得AE=，BF=。
∴根据梯形中位线定理，得PC=PH=。∴CD=2PH=。
∵，∴CD长的最小值为。