Question

（1）阅读下列材料，补全证明过程：
已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．求证：点G是线段BC的一个三等分点．

证明：在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC，
∴OE∥DC，∵

OE

DC

=

1

2

，∴

EF

FD

=

OE

DC

=

1

2

∴

EF

ED

=

1

3

．…
（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．

Answer 1

分析：（1）欲证点G是线段BC的一个三等分点，由图可知，只需证明

GC

BC

=

1

3

即可．由于矩形ABCD中，OB=OC，OE⊥BC于E，则E为BC的中点．易证OE为△BCD的中位线，则

OE

DC

=

1

2

．由OE∥CD，得出

EF

FD

=

OE

DC

=

1

2

，由比例的性质可知，

FD

ED

=

2

3

．再由FG∥DC，得出

GC

EC

=

FD

ED

=

2

3

，而BC=2EC，从而求出

GC

BC

=

1

3

；
（2）由（1）的画法，可知连接DG交OC于点H，作HI⊥BC于I，则点I是线段BC的一个四等分点．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，OB=OC，OE⊥BC于E，
∴E为BC的中点，
又O为BD的中点，
∴OE为△BCD的中位线，
∴

OE

DC

=

1

2

．
∵OE⊥BC，DC⊥BC，
∴OE∥DC，
∴△OEF∽△CDF．
∴

EF

FD

=

OE

DC

=

1

2

，
∴

EF

ED

=

1

3

，

FD

ED

=

2

3

．
又∵FG∥DC，

GC

EC

=

FD

ED

=

2

3

，
∴

GC

BC

=

GC

2EC

=

2

6

=

1

3

．
∴点G是BC的一个三等分点；

（2）依题意画图如下：如图，点I即为所求．

点评：本题考查平行线分线段成比例定理，要根据平行找准对应关系．