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已知二次函数y=4x2+bx+
116
(b2+b),b取任何实数时,它的图象都是一条抛物线.
(1)现在有如下两种说法:
①b取任何不同的数值时,所对应的抛物线都有着完全相同的形状;
②b取任何不同的数值时,所对应的抛物线都有着不相同的形状.
你认为哪一种说法正确,为什么?
(2)若b=-1,b=2时对应的抛物线的顶点分别为A,B,请你求出直线AB的解析式;
(3)在(2)中所确定的直线AB上有一点C,且点C的纵坐标为-1,问:在x轴上是否存在点D使△COD为等腰三角形?若存在,直接写出点D的坐标;若不存在,简单说明理由.
分析:(1)由于抛物线的形状只与抛物线的二次项系数有关,显然①的说法是正确的.
(2)将b=-1、b=2分别代入抛物线的解析式中,用配方法求出两条抛物线的顶点坐标,也就得到了A、B点的坐标,从而利用待定系数法求出直线AB的解析式.
(3)根据(2)题得到的直线AB的解析式,可确定点C的坐标;由于△COD的腰和底不确定,分:①OC=OD、②OC=CD、③OD=CD三种情况讨论即可.
解答:解:(1)抛物线的开口方向和形状只与二次项系数有关,与一次项系数和常数项无关,
故①的说明是正确的.

(2)当b=-1时,y=4x2-x=4(x-
1
8
2-
1
16

故A(
1
8
,-
1
16
);
当b=2时,y=4x2+2x+
3
8
=4(x+
1
4
2+
1
8

故B(-
1
4
1
8
);
设直线AB的解析式为:y=kx+b,则有:
1
8
k+b=-
1
16
-
1
4
k+b=
1
8

解得
k=-
1
2
b=0

故直线AB的解析式为:y=-
1
2
x.

(3)当y=-1时,-1=-
1
2
x,x=2,精英家教网
故C(2,-1);
可得OC=
5

若△COD是等腰三角形,则有:
①OC=OD,则OD=
5

∴D1(-
5
,0),D2
5
,0);
②OC=CD;
根据等腰三角形三线合一的性质知:C点位于OD的垂直平分线上,
故D3(4,0);
③OD=CD;
此时D位于OC的垂直平分线上,则∠OCD4=∠OD3C=∠COD4
则△OD4C∽△OCD3,得OC2=OD4•OD3
由于OC=
5
,OD3=4,
可求得OD4=
5
4

故D4
5
4
,0);
综上所述,存在4个符合条件的D点,它们的坐标为:D1(-
5
,0),D2
5
,0),D3(4,0),D4
5
4
,0).
点评:此题考查了二次函数图象与系数的关系、函数解析式的确定、等腰三角形的构成情况等知识点;(3)题中,由于等腰三角形的腰和底不确定,一定要分类讨论,以免漏解.
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1
3
x2-4x+
14
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4
13
且a≠0
a>-
4
13
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