Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC垂足是D，AN是∠BAC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足是E，连接DE交AC于F．

（1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）求证：DF∥AB，DF＝；

（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形，简述你的理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE为正方形．见解析

【解析】

（1）先根据AB=AC，AD⊥BC垂足是D，得AD平分∠BAC，然后根据AE是△ABC的外角平分线，可求出AN∥BC，故∠DAE=∠ADC=∠AEC=90°，所以四边形ADCE为矩形；
（2）根据四边形ADCE是矩形，可知F是AC的中点，由AB=AC，AD平分∠BAC可知D是BC的中点，故DF是△ABC的中位线，即DF∥AB，DF=AB；
（3）根据矩形的性质可知当△ABC是等腰直角三角形时，则∠5=∠2=45°，利用等腰三角形的性质定理可知对应边AD=CD．再运用邻边相等的矩形是正方形．问题得证．

证明：如图

（1）∵AB＝AC，AD⊥BC垂足是D，

∴AD平分∠BAC，∠B＝∠5，

∴∠1＝∠2，

∵AE是△ABC的外角平分线，

∴∠3＝∠4，

∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，

∴∠2+∠3＝90°，

即∠DAE＝90°，

又∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

又∵CE⊥AE，

∴∠AEC＝90°，

∴四边形ADCE是矩形．

（2）∵四边形ADCE是矩形，

∴AF＝CF＝AC，

∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴BD＝CD＝BC，

∴DF是△ABC的中位线，

即DF∥AB，DF＝．

（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE为正方形．

∵在Rt△ABC中，AD平分∠BAC

∴∠5＝∠2＝∠3＝45°，

∴AD＝CD，

又∵四边形ADCE是矩形，

∴矩形ADCE为正方形．