如图1.Rt△ABC两直角边的边长为AC＝1.BC＝2．(1)如图2.⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X.与边CB相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O,(用尺规作图.保留作图痕迹.不写作法和证明)(2)P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为s.你认为能否确定s的最大值?若能.请你求出s� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝1，BC＝2．
（1）如图2，

⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为s，你认为能否确定s的最大值？若能，请你

求出s的最大值;若不能,请你说明不能确定s的最大值的理由．

解：(1)共2分.（标出了圆心，没有作图痕迹的评1分）看见垂足为Y（X）的一条垂线 (或者∠ABC的平分线)即评1分，
(2)①当⊙P与Rt△ABC的边 AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点P是∠ABC的平分线BM上的点.
如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P₁ (不为∠ABC的顶点)，

∵ OX ＝BOsin∠ABM, P₁Z＝BP₁sin∠ABM．
当 BP₁＞BO 时，P₁Z＞OX,即P与B的距离越大，⊙P的面积越大．
这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点.
（3分.此处没有证明和结论不影响后续评分）
如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上.

∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与边CB相切于C，与边AB相切于E，
即这时的⊙P是符合题意的圆.（4分.此处没有证明和结

论不影响后续评分）
这时⊙P的面积就是S的最大值.
∵∠A＝∠A，∠BCA＝∠AEP＝90°,∴ Rt△ABC∽Rt△APE，（5分）
∴

.
∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝

.
设PC＝x，则PA＝AC－PC＝1－x, PC＝PE，
∴

， ∴x＝

．（6分）
②如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC＝y，则

，

∴y=

. （7分）
③如图4，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，

设PF＝z，则

， ∴z=

. （8分）
由①，②，③可知：∵

＞2，∴

＋2＞

＋1＞3，
∵当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大，
(或者:∵x=

-4, y=

5,
∴y-x=

>0, ∴y>x. ∵z-y=

>0)
∴

2，（9分，没有过程直接得出酌情扣1分）
∴ z＞y＞x. ∴⊙P的面积S的最大值为

. （10分）

略

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