Question

已知在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D点在边BC上，BF⊥AC分别交射线DA、射线CA于点E、F，若BD=4，∠BAD=45°．
（1）如图：若∠BAC是锐角，则点F在边AC上，
①求证：△BDE≌△ADC；
②若DC=3，求AE的长；
（2）若∠BAC是钝角，AE=1，求AC的长．

Answer 1

（1）①证明：∵AD⊥BC∠BAD=45°，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∴BD=AD，
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠DAC=90°，
同理：∠C+∠EBD=90°，
∴∠EBD=∠DAC，
在△BDE和△ADC中，
∴△DAC≌△ECB（ASA），

②解：∵△DAC≌△ECB，
∴DC=DE，
∵DC=3，BD=AD=4，
∴AE=AD-DE=1；

（2）如备用图
同理：DC=DE，
BD=AD=4，AE=1，
DC=DE=AD+AE=5，
在Rt△ADC中，
则AC²=AD²+DC²，
∴AC=．
分析：（1）①首先根据已知得出∠EBD=∠DAC，进而利用ASA得出△DAC≌△ECB；
②利用△DAC≌△ECB，得出DC=DE，进而得出AE=AD-DE即可；
（2）根据已知得出DC=DE，进而利用勾股定理求出AC的长即可．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出∠EBD=∠DAC是解题关键．