Question

10．如图：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△AOB的面积为18$\sqrt{3}$，∠ABO=60°，点C在OB上，OC=4，BC=2，动点P从A点出发沿射线AB以每秒2个单位的速度运动，连接OP．
（1）求A点坐标；
（2）用含有t的式子表示△POB的面积．（直接写出t的取值范围）
（3）连接PC将线段PC绕P点逆时针旋转60°得到线段PQ，过点Q做QH垂直射线AB于H，当PH=6时，求t值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△AOB中，因为∠ABO=60°，∠AOB=90°，所以∠AOB=30°，设OB=a，则AB=2a，OA=$\sqrt{3}$a，利用三角形面积公式即可求出a，解决问题．
（2）分两种情形①当0≤t＜6时，②当t＞6时分别求解即可．
（3）如图2中，作PN⊥x轴于N．只要证明△QPH≌△PCN，推出PH=CN=6，由BC=2，推出BN=4，因为∠BON=30°，∠PNB=90°，推出PB=2BN=8，推出AP=AB+PB=12+8=20，即可解决问题．

解答 解：（1）在Rt△AOB中，
∵∠ABO=60°，∠AOB=90°，
∴∠AOB=30°，设OB=a，则AB=2a，OA=$\sqrt{3}$a，
∵$\frac{1}{2}$•OB•OA=18$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$•a•$\sqrt{3}$a=18$\sqrt{3}$，
∴a=6，
∴OA=6$\sqrt{3}$，
∴点A坐标（0，6$\sqrt{3}$）．

（2）如图1中，

①当0≤t＜6时，作PM⊥OA于M，
∵PA=2t，∠PAM=30°，
∴PM=$\frac{1}{2}$PA=t，
∴S_△POB=S_△AOB-S_△AOP=18$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$$•6\sqrt{3}$•t=-3$\sqrt{3}$t+18$\sqrt{3}$，
②当t＞6时，作P′M′⊥OA于M′，
∵P′A=2t，∠P′AM′=30°，
∴P′M′=$\frac{1}{2}$P′A=t，
∴S_△P′OB=S_△P′AO-S_△AOB=$\frac{1}{2}$$•6\sqrt{3}$•t-18$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$t-18$\sqrt{3}$．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-3\sqrt{3}t+18\sqrt{3}}&{（0≤t＜6）}\\{3\sqrt{3}t-18\sqrt{3}}&{（t＞6）}\end{array}\right.$．

（3）如图2中，作PN⊥x轴于N．

∵∠NBP=∠ABO=60°，
∴∠BCP+∠BPC=60°，∵∠BPC+∠QPH=60°，
∴∠QPH=∠PCN，
∵∠QHP=∠PNC=90°，PQ=PC，
∴△QPH≌△PCN，
∴PH=CN=6，
∵BC=2，
∴BN=4，
∵∠BON=30°，∠PNB=90°，
∴PB=2BN=8，
∴AP=AB+PB=12+8=20，
∴t=10，

点评 本题考查几何变换综合题、直角三角形30度角性质、三角形的面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．