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已知:如图甲,△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CAP=∠B,则结论“AP与⊙O相切于点A”成立.
(1)若把条件“AB为直径”改为“AB为非直径的弦”,如图乙,其它条件不变,那么结论“AP与⊙O相切于点A”仍成立吗?请证明你的判断;
(2)在(1)的条件下,若D为弧AB上的一点,且弧AC=弧AD,过B、D两点的直线交PA于点E.求证:AB•DE=AC•AE.

(1)解:结论仍然成立.
如图,连接AO,
∴∠D+∠CAD=90°.
∵∠CAP=∠B,∠D=∠B,
∴∠CAP+∠CAD=90°.
∴AP与⊙O相切于点A.

(2)证明:连接AD,则∠ADE=∠C,
∵弧AC和弧AD相等,
∴∠ABC=∠ABD.
∵AE是圆的切线,
∴∠EAD=∠ABD.
∴∠EAD=∠ABC.
∴△AED∽△BAC.
∴AB•DE=AC•AE.
分析:(1)结论仍然成立.如图连接AO并延长交圆O与D,连接DC,可以证明∠PAC+∠CAD=90°,所以AP与⊙O相切于点A;
(2)连接AD,根据切线的性质和已知条件可以找到三角形相似的条件,然后证明△ADE和△ABC相似,再利用相似三角形的性质就可以证明题目的结论.
点评:此题首先考查了切线的判定定理,也考查了利用切线的性质证明相似三角形,最后利用相似三角形的性质解题.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

已知,如图甲:△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,△ACD是等边三角形.
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(1)填空:当△ACD绕点C顺时针旋转
 
时,旋转后的△ACD与△ABC构成一个轴对称图形(旋转的角度小于360°);
(2)把图甲中△ACD绕点C顺时针旋转60°后得到如图乙,并连接EB,设线段CE与AB相交于点F.
①求证:BE=BF;
②若AC=2,求四边形ACBE的面积.

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科目:初中数学 来源: 题型:

8、已知:如图甲,△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CAP=∠B,则结论“AP与⊙O相切于点A”成立.
(1)若把条件“AB为直径”改为“AB为非直径的弦”,如图乙,其它条件不变,那么结论“AP与⊙O相切于点A”仍成立吗?请证明你的判断;
(2)在(1)的条件下,若D为弧AB上的一点,且弧AC=弧AD,过B、D两点的直线交PA于点E.求证:AB•DE=AC•AE.

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

根据所给的基本材料,请你进行适当的处理,编写一道综合题.
编写要求:①提出具有综合性、连续性的三个问题;②给出正确的解答过程;③写出编写意图和学生答题情况的预测.
材料①:如图,先把一矩形纸片ABCD对折,得到折痕MN,然后把B点叠在折痕线上,得到△ABE,再过点B把矩形ABCD第三次折叠,使点D落在直线AD上,得到折痕PQ.当沿着BE第四次将该纸片折叠后,点A就会落在EC上.
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材料②:已知AC是∠MAN的平分线.
(1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=ADC=90°,求证:AB+AD=AC;
(2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)在图3中:若∠MAN=α(0°<α<180°),∠ABC+∠ADC=180°,
则AB+AD=
 
AC(用含α的三角函数表示).
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材料③:
已知:如图甲,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿线段BA向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿线段AC向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ,设运动的时间为t(s)(0<t<2).
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编写试题选取的材料是
 
(填写材料的序号)
编写的试题是:(1)设△AQP的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式.
(2)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分?若存在,求出此时t的值.
(3)如图(2),连接PC,并把△PQC沿QC翻折得到四边形PQP'C.是否存在某一时刻t,使四边形PQP'C为菱形?若存在,求出此时菱形的边长.
试题解答(写出主要步骤即可):(1)过点Q作QD⊥AP于点D,证△AQD∽△ABC,利用相似性质及面积解答;
(2)分别求得Rt△ACB的周长和面积,由周长求出t,代入函数解析式验证;
(3)利用余弦定理得出PC、PQ,联立方程,求得t,再代入PC解得答案.

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科目:初中数学 来源:2010年重庆市万州区初中数学教师专业知识竞赛试卷(解析版) 题型:解答题

根据所给的基本材料,请你进行适当的处理,编写一道综合题.
编写要求:①提出具有综合性、连续性的三个问题;②给出正确的解答过程;③写出编写意图和学生答题情况的预测.
材料①:如图,先把一矩形纸片ABCD对折,得到折痕MN,然后把B点叠在折痕线上,得到△ABE,再过点B把矩形ABCD第三次折叠,使点D落在直线AD上,得到折痕PQ.当沿着BE第四次将该纸片折叠后,点A就会落在EC上.

材料②:已知AC是∠MAN的平分线.
(1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=ADC=90°,求证:AB+AD=AC;
(2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)在图3中:若∠MAN=α(0°<α<180°),∠ABC+∠ADC=180°,
则AB+AD=______AC(用含α的三角函数表示).

材料③:
已知:如图甲,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿线段BA向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿线段AC向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ,设运动的时间为t(s)(0<t<2).

编写试题选取的材料是______(填写材料的序号)
编写的试题是:(1)设△AQP的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式.
(2)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分?若存在,求出此时t的值.
(3)如图(2),连接PC,并把△PQC沿QC翻折得到四边形PQP'C.是否存在某一时刻t,使四边形PQP'C为菱形?若存在,求出此时菱形的边长.
试题解答(写出主要步骤即可):(1)过点Q作QD⊥AP于点D,证△AQD∽△ABC,利用相似性质及面积解答;
(2)分别求得Rt△ACB的周长和面积,由周长求出t,代入函数解析式验证;
(3)利用余弦定理得出PC、PQ,联立方程,求得t,再代入PC解得答案.

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