Question

已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）过点C作CE⊥AB于E，若CE=2，cosD=

4

5

，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）要证DC是⊙O的切线，只要连接OC，再证OC⊥CD即可．
（2）根据三角函数知识即可求出⊙O的半径．

解答：证明：（1）连接CO，（1分）
∵AB是⊙O直径，
∴∠1+∠OCB=90°．
∵AO=CO，
∴∠1=∠A．
∵∠5=∠A，
∴∠5+∠OCB=90°．
即∠OCD=90°，
∴OC⊥CD．
又∵OC是⊙O半径，
∴CD为⊙O的切线．（3分）

（2）∵OC⊥CD于C，
∴∠3+∠D=90°．
∵CE⊥AB于E，
∴∠3+∠2=90°．
∴∠2=∠D．
∴cos∠2=cosD．（4分）
在△OCD中，∠OCD=90°，
∴cos∠2=

CE

CO

．
∵cosD=

4

5

，CE=2，
∴

2

CO

=

4

5

．
∴CO=

5

2

．
∴⊙O的半径为

5

2

．（5分）

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了三角函数的知识．