Question

19．如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．
（1）求证：∠B=∠ACD．
（2）已知点E在AB上，且BC²=AB•BE．
（i）若tan∠ACD=$\frac{3}{4}$，BC=10，求CE的长；
（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．

Answer 1

分析 （1）因为∠ACB=∠DCO=90°，所以∠ACD=∠OCB，又因为点O是Rt△ACB中斜边AB的中点，所以OC=OB，所以∠OCB=∠B，利用等量代换可知∠ACD=∠B；
（2）（i）因为BC²=AB•BE，所以△ABC∽△CBE，所以∠ACB=∠CEB=90°，因为tan∠ACD=tan∠B，利用勾股定理即可求出CE的值；
（ii）过点A作AF⊥CD于点F，易证∠DCA=∠ACE，所以CA是∠DCE的平分线，所以AF=AE，所以直线CD与⊙A相切．

解答 解：（1）∵∠ACB=∠DCO=90°，
∴∠ACB-∠ACO=∠DCO-∠ACO，
即∠ACD=∠OCB，
又∵点O是AB的中点，
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∴∠ACD=∠B，

（2）（i）∵BC²=AB•BE，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BE}{BC}$，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBE，
∴∠ACB=∠CEB=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴tan∠ACD=tan∠B=$\frac{3}{4}$，
设BE=4x，CE=3x，
由勾股定理可知：BE²+CE²=BC²，
∴（4x）²+（3x）²=100，
∴解得x=2，
∴CE=6；

（ii）过点A作AF⊥CD于点F，
∵∠CEB=90°，
∴∠B+∠ECB=90°，
∵∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠B=∠ACE，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD=∠ACE，
∴CA平分∠DCE，
∵AF⊥CE，AE⊥CE，
∴AF=AE，
∴直线CD与⊙A相切．

点评 本题考查圆的综合问题，涉及等量代换，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，知识点较综合，需要学生灵活运用所学知识解决问题．