Question

17．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：
如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A₁B₁C₁D₁，A₂B₂C₂D₂，AB₃C₃D₃都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB₃C₃D₃是点A，B，C的最优覆盖矩形．
（1）已知A（-2，3），B（5，0），C（t，-2）．
①当t=2时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为35；
②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC的表达式；
（2）已知点D（1，1）．E（m，n）是函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上一点，⊙P是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径r的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①由矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形，得出最优覆盖矩形的长为：2+5=7，宽为3+2=5，即可得出结果；
②由定义可知，t=-3或6，即点C坐标为（-3，-2）或（6，-2），设AC表达式为y=kx+b，代入即可求出结果；
（2）OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，OD所在的直线表达式为y=x，得出点E的坐标为（2，2），⊙P的半径最小r=$\sqrt{2}$，当点E的纵坐标为1时，⊙P的半径最大r=$\frac{{\sqrt{17}}}{2}$，即可得出结果．

解答 解：（1）①∵A（-2，3），B（5，0），C（2，-2），矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形，
∴最优覆盖矩形的长为：2+5=7，宽为3+2=5，
∴最优覆盖矩形的面积为：7×5=35；
②∵点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，
∴由定义可知，t=-3或6，即点C坐标为（-3，-2）或（6，-2），
设AC表达式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=-2+b}\\{-2=-3k+b}\end{array}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{3=-2k+b}\\{-2=6k+b}\end{array}}\right.$
∴$\left\{{\begin{array}{l}{k=5}\\{b=13}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{8}}\\{b=\frac{7}{4}}\end{array}}\right.$
∴y=5x+13或$y=-\frac{5}{8}x+\frac{7}{4}$；

（2）①OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，如图1所示：
∵点D（1，1），
∴OD所在的直线表达式为y=x，
∴点E的坐标为（2，2），
∴OE=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=$2\sqrt{2}$，
∴⊙P的半径最小r=$\sqrt{2}$，
②当点E的纵坐标为1时，如图2所示：
1=$\frac{x}{4}$，解得x=4，
∴OE═$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴⊙P的半径最大r=$\frac{{\sqrt{17}}}{2}$，
∴$\sqrt{2}≤r≤\frac{{\sqrt{17}}}{2}$．

点评 本题是圆的综合题目，考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求直线的解析式、坐标与图形性质、反比例函数等知识；本题综合性强，有一定难度．