Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，D、E分别为边AB、AC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AE-ED-DB运动，到点B停止．点P在折线AE-ED上以每秒1个单位的速度运动，在DB上以每秒个单位的速度运动. 过点P作PQ⊥BC于点Q， 以PQ为边在PQ右侧作正方形PQMN， 使点M落在线段BC上．设点P的运动时间为秒（）.

（1）在整个运动过程中，求正方形PQMN的顶点N落在AB边上时对应的的值；

（2）连结BE，设正方形PQMN与△BED重叠部分图形的面积为S，请直接写出S与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围；

（3）当正方形PQMN顶点P运动到与点E重合时，将正方形PQMN绕点Q逆时针旋转60°得正方形

P₁ Q M₁ N₁，问在直线DE与直线AC上是否存在点G和点H，使△GHP₁是等腰直角三角形? 若

存在，请求出EG的值；若不存在，请说明理由．

			备用图

 

Answer 1

（1）当点P在AE上时，  由△APN∽△ACB得

        ∴        ∴t=2s        ......2分

当点P在ED上时，PN=3 ，∴AE+EP=3+6-3=6   ∴t=6s     ......3分

 （2）.................8分

（3）在直线DE与直线AC上存在点G和点H，使△GHP₁是等腰直角三角形. 理由如下：

过P₁作P₁S⊥AC于S, P₁R⊥DE于R,

∵∠P₁QS=60°，P₁Q=3，

∴P₁S=RE=, QS

∴P₁R=SE=.

①    

图1

当∠P₁GH=90°时,

可证△P₁RG≌△GEH，则EG= P₁R=.......9分

②     当∠P₁HG=90°时, （如图3、4）

图2

可证△P₁SH≌△HEG，

∴EH=P₁S=，EG=SH,

∴EG=EH+SE=+；

或EG=EH-SE=-；  ..........11分

	图3

 

③当∠GP₁H=90°时,

∵P₁S≠ P₁R， ∴△P₁SH与△P₁RG不可能全等

∴P₁H≠ P₁G，∴不成立.      .......12分

图4

综上，EG=,+,-.