Question

19．如图，M为双曲线y=$\frac{{\sqrt{3}}}{x}$上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=-$\sqrt{3}$x+m于点D、C两点，若直线y=-$\sqrt{3}$x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B，则AD•BC的值为4．

Answer 1

分析 作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，由直线的解析式为y=-x+m，易得A（0，m），B（m，0），得到△OAB等腰直角三角形，则△ADF和△CEB都是等腰直角三角形，设M的坐标为（a，b），则ab=$\sqrt{3}$，并且CE=b，DF=a，则AD=2DF=2a，BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$b，于是得到结论．

解答 解：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，如图，
对于y=-$\sqrt{3}$x+m，
令x=0，则y=m；令y=0，-$\sqrt{3}$x+m=0，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，
∴A（0，m），B（$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，0），
∴tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABO=60°，∴∠OAB=30°，
设M的坐标为（a，b），则ab=$\sqrt{3}$，
CE=b，DF=a，
∴AD=2DF=2a，BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$b，
∴AD•BC=2a•$\frac{2\sqrt{3}}{3}$b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$ab=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{3}$=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；会求一次函数与坐标轴的交点坐标以及灵活运用等腰直角三角形的性质．