Question

【题目】如图①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点．

小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．

请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．

①∠BEP＝　 　°；

②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是　 　．

（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．

（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①50°；②AB∥EC；（2）详见解析；（3）3.

【解析】

（1）①根据∠BPE=80°，PB=PE即可求出答案；②根据“AB＝AC，∠BAC＝100°”，可以得到AE垂直平分线段BC，从而得到EB＝EC，进而得到∠ECB＝∠EBC，即可证得∠ABC＝∠ECB，从而得到答案；

（2）以P为圆心，PB为半径作⊙P，得到PB＝PC，再根据同弧所对的圆周角是圆心的一半求出∠BCE的度数从而得到答案；

（3）作AH⊥CE于H，点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，当点P运动到与点A重合时，AE取最小值，故而得到答案.

解：（1）①如图②中，

∵∠BPE＝80°，PB＝PE，

∴∠PEB＝∠PBE＝50°，

②结论：AB∥EC．

理由：∵AB＝AC，BD＝DC，

∴AD⊥BC，

∴∠BDE＝90°，

∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，

∵AE垂直平分线段BC，

∴EB＝EC，

∴∠ECB＝∠EBC＝40°，

∵AB＝AC，∠BAC＝100°，

∴∠ABC＝∠ACB＝40°，

∴∠ABC＝∠ECB，

∴AB∥EC．

故答案为50，AB∥EC．

（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．

∵AD垂直平分线段BC，

∴PB＝PC，

∴∠BCE＝∠BPE＝40°，

∵∠ABC＝40°，

∴AB∥EC．

（3）如图④中，作AH⊥CE于H，

∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，

∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值＝AB＝3．