Question

20．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．
（1）如图1，当AC=8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；
（2）如图2，若$\frac{DE}{EF}=\frac{1}{2}$，设AC=x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）若$\frac{DE}{EF}=\frac{2}{3}$，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质求出DE和BG，求出EF；
（2）作DH⊥AC于H，根据相似三角形的性质得到y关于x的函数解析式；
（3）根据点G在边BC上和点G在边AB上两种情况，根据相似三角形的性质解答．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=10，
∵D为斜边AB的中点，
∴AD=BD=5，
∵DEFG为矩形，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠C，又∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，即$\frac{5}{8}$=$\frac{DE}{6}$，
解得，DE=$\frac{15}{4}$，
∵△ADE∽△FGB，
∴$\frac{AD}{GF}$=$\frac{DE}{BG}$，
则BG=$\frac{45}{16}$，
∴EF=DG=AB-AD-BG=$\frac{35}{16}$；
（2）如图2，作DH⊥AC于H，
∴DH∥BC，又AD=DB，
∴DH=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵DH⊥AC，∠C=90°，∠DEF=90°，
∴△DHE∽△ECF，
∴$\frac{DE}{EF}$=$\frac{DH}{EC}$=$\frac{1}{2}$，
∴EC=2DH=6，EH=$\frac{1}{2}$x-6，
∴DE²=3²+（$\frac{1}{2}$x-6）²=$\frac{1}{4}$x²-6x+45，
∴y=DE•EF=2DE²=$\frac{1}{2}$x²-12x+90，
（3）如图3，当点G在边BC上时，
∵$\frac{DE}{EF}=\frac{2}{3}$，DE=3，
∴EF=$\frac{9}{2}$，
∴AC=9，
如图4，当点G在边AB上时，
设AD=DB=a，DE=2b，EF=3b，
∵△ADE∽△FGB，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{FG}{GB}$，即$\frac{a}{2b}$=$\frac{2b}{a-3b}$，
整理得，a²-3ab-4b²=0，
解得，a=4b，a=-b（舍去），
∴AD=2DE，
∵△ADE∽△ACB，
∴AC=2BC=12，
综上所述，点G恰好落在Rt△ABC的边上，AC的长为9或12．

点评 本题的是矩形的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的求法以及三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．