Question

如图，四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC、AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．
（1）请探究DE与DG有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由．
（2）以线段DE、DG为边作平行四边形DEFG，连接KF（要求：在已知图中作出相应简图），猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用角边角可得△DCE≌△GDA，那么可得DE=DG，∠EDC=∠GDA，进而根据∠ADC=90°可得GD⊥DE；
（2）利用一组对边平行且相等可得四边形CKGD是平行四边形，可得DG=CK，DG∥CK．由四边形DEFG为平行四边形可得EF=DG，EF∥DG，CK=EF，CK∥EF，所以四边形CEFK为平行四边形．

解答：解：（1）DE=DG，DE⊥DG．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°．
又∵CE=AG，
∴△DCE≌△GDA．
∴DE=DG，∠EDC=∠GDA．
又∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠GDA=90°，
∴DE⊥DG．

（2）画图如图：截GD长，以点G，E为顶点画弧，交点为F． 
四边形CEFK为平行四边形．理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵BK=AG，
∴GK=AK+AG=AK+BK=AB．
即  GK=CD．
又∵K在AB上，点G在BA的延长线上，
∴GK∥CD．
∴四边形CKGD是平行四边形．
∴DG=CK，DG∥CK．
又∵四边形DEFG都是平行四边形，
∴EF=DG，EF∥DG．
∴CK=EF，CK∥EF．
∴四边形CEFK为平行四边形．

点评：综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定；用到的知识点为：平行四边形的对边平行且相等；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．