【题目】定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点A (a,b),B(c,d),若点T(x,y)满足x=,y=,那么称点T是点A和B的融合点.例如:M(﹣1,8),N(4,﹣2),则点T(1,2)是点M和N的融合点.如图,已知点D(3,0),点E是直线y=x+2上任意一点,点T (x,y)是点D和E的融合点.
(1)若点E的纵坐标是6,则点T的坐标为 ;
(2)求点T (x,y)的纵坐标y与横坐标x的函数关系式:
(3)若直线ET交x轴于点H,当△DTH为直角三角形时,求点E的坐标.
【答案】(1)(,2);(2)y=x﹣;(3)E的坐标为(,)或(6,8)
【解析】
(1)把点E的纵坐标代入直线解析式,求出横坐标,得到点E的坐标,根据融合点的定义求求解即可;
(2)设点E的坐标为(a,a+2),根据融合点的定义用a表示出x、y,整理得到答案;
(3)分∠THD=90°、∠TDH=90°、∠DTH=90°三种情况,根据融合点的定义解答.
解:(1)∵点E是直线y=x+2上一点,点E的纵坐标是6,
∴x+2=6,
解得,x=4,
∴点E的坐标是(4,6),
∵点T (x,y)是点D和E的融合点,
∴x==,y==2,
∴点T的坐标为(,2),
故答案为:(,2);
(2)设点E的坐标为(a,a+2),
∵点T (x,y)是点D和E的融合点,
∴x=,y=,
解得,a=3x﹣3,a=3y﹣2,
∴3x﹣3=3y﹣2,
整理得,y=x﹣;
(3)设点E的坐标为(a,a+2),
则点T的坐标为(,),
当∠THD=90°时,点E与点T的横坐标相同,
∴=a,
解得,a=,
此时点E的坐标为(,),
当∠TDH=90°时,点T与点D的横坐标相同,
∴=3,
解得,a=6,
此时点E的坐标为(6,8),
当∠DTH=90°时,该情况不存在,
综上所述,当△DTH为直角三角形时,点E的坐标为(,)或(6,8)
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【题目】(问题背景)解方程:x4﹣5x2+4=0.
这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,我们可以借助“换元法”将高次方程“降次”,进而解得未知数的值.
解:设 x2=y,那么 x4=y2,于是原方程可变为 y2﹣5y+4=0,解得 y1=1,y2=4. 当 y1=1 时,x2=1,x=±1;当 y2=4 时,x2=4,x=±2;
原方程有四个根:x1=1,x2=﹣1,x3=2,x4=﹣2.
(触类旁通)参照例题解方程:(x2+x)2﹣4(x2+x)﹣12=0;
(解决问题)已知实数 x,y 满足(2x+2y+3)(2x+2y﹣3)=27,求 x+y 的值;
(拓展迁移)分解因式:(x2+4x+3)(x2+4x+5)+1.
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【题目】已知,点、为直线上的两动点,,,;
(1)当点、重合,即时(如图),试求.(用含,,的代数式表示)
(2)请直接应用(1)的结论解决下面问题:当、不重合,即,
①如图这种情况时,试求.(用含,,,的代数式表示)
②如图这种情况时,试猜想与、之间有何种数量关系?并证明你的猜想.
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【题目】如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则周长的最小值为
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象经过点A (﹣2,6),与x轴交于点B,与正比例函数y=3x的图象交于点C,点C的横坐标为1.
(1)求AB的函数表达式;
(2)若点D在y轴负半轴,且满足S△COD=S△BOC,求点D的坐标.
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【题目】某中学八⑴班、⑵班各选5名同学参加“爱我中华”演讲比赛,其预赛成绩(满分100分)如图所示:
(1)根据上图填写下表:
平均数 | 中位数 | 众数 | |
八(1)班 | 85 | 85 | |
八(2)班 | 85 | 80 |
(2)根据两班成绩的平均数和中位数,分析哪班成绩较好?
(3)如果每班各选2名同学参加决赛,你认为哪个班实力更强些?请说明理由.
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【题目】一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求y关于x的函数关系式;(不需要写出自变量x的取值范围)
(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车会开始提示加油,求提示时汽车行驶的路程是多少千米.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,E是BC的中点,AD∥BC,AE∥DC,EF⊥CD于点F.
(1)求证:四边形AECD是菱形;
(2)若AB=5,AC=12,求EF的长.
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