Question

27、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接FC，求证：∠FCN=45°；
（3）请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据同角的余角相等得∠DAG=∠BAE，再根据“SAS”证得△ADG≌△ABE；
（2）过F作BN的垂线，设垂足为H，首先证△ABE、△EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根据AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，
得到CH=BE=FH，即可得证．
（3）在AB上取AQ=BE，连接QD，首先证△DAQ、△ABE、△ADG三个三角形全等，易证得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可得证．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴DA=BA，EA=GA，∴∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠DAG=∠BAE，∴△ADG≌△ABE；


（2）过F作BN的垂线，设垂足为H，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠HEF，
∵AE=EF，∴△ABE≌△EHF，∴AB=EH，BE=FH，
∴AB=BC=EH，∴BE+EC=EC+CH，∴CH=BE=FH，∴∠FCN=45°；

（3）在AB上取AQ=BE，连接QD，
∵AB=AD，∴△DAQ≌△ABE，
∵△ABE≌△EHF，
∴△DAQ≌△ABE≌△ADG，∴∠GAD=∠ADQ，
∴AG、QD平行且相等，
又∵AG、EF平行且相等，∴QD、EF平行且相等，
∴四边形DQEF是平行四边形．
∴在AB边上存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形．

点评：考查全等三角形的判定及平行四边形的判定，难度较大．