Question

【题目】在中，，点分别是边的中点，连接，

（1）如图①，当时，绕点逆时针旋转得到，连接、，在旋转过程中请猜想：______（直接写出答案）；

（2）如图②，当时，绕点逆时针旋转得到，连接、，在旋转过程中请猜想：的比值，并证明你的猜想；

（3）如图③，当时，绕点逆时针旋转得到，连接、，请直接写出在旋转过程中的比值．（用含的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；理由见解析；（3）的比值是定值，，理由见解析．

【解析】

（1）如图①中，利用等边三角形的性质证明即可．

（2）结论：，证明即可解决问题．

（3）结论：的比值是定值， 证明方法类似（2）．

解：（1）如图①中， ∵CA=CB，∠CAB=60°，

∴△ACB是等边三角形，

点分别是边的中点，

AD=DC，AE=EB，

∴△AED，都是等边三角形，

∴ AC=AB，

∴

∴（SAS），

∴，

∴

故答案为1．

（2）

理由：如图②中，连接

∵，点是边的中点，

∴，，，

∴，

在中，

∵，，

∴

∴，

∴，

∵，，，

∴，

又∵，

∴，

∴；

（3）的比值是定值，．

理由：如图③中，连接EC．

∵CA=CB，AE=EB，

∴CE⊥AB，

∴

同法可证：

∴

的比值是定值，．