Question

16．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO，已知BD=2$\sqrt{2}$．
（1）求正方形ABCD的边长；
（2）求OE的长；
（3）①求证：CN=AF；②直接写出四边形AFBO的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质和勾股定理计算即可；
（2）利用正方形的性质解答即可；
（3）判断出∠OEC=∠OCE，再判断出∠NBC=∠COM=90°，进而得出△CBN∽△COM，即可得出结论．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=BC，∠BCD=∠ABC=90°，
∴2BC²=BD²，
∵BD=2$\sqrt{2}$，
∴AB=BC=2，
∴正方形ABCD的边长为2；
（2）∵CF=CA，AF是∠ACF的平分线，
∴CE⊥AF，
∴∠AEC=∠CEF=90°，E为AF的中点，
∵正方形ABCD，
∴O为AC的中点，AC=BD=2$\sqrt{2}$，
∴OE=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，
（3）∠ABF=∠CBN=∠CEF=90°，AB=BC，
∴∠ECB+∠F=∠FAB+∠F=90°，
∴∠ECB=∠FAB，
在△NCB与△FAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠CBN}\\{∠ECB=∠FAB}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△NCB≌△FAB，
∴CN=AF．
②四边形AFBO的面积=△CBN的面积+△ABO的面积=．

点评 此题主要考查了正方形的性质，利用全等三角形的判断和性质，三角形的中位线，角平分线的定义解答是关键．