Question

如图，⊙O的直径AB=15cm，有一条定长为9cm的动弦CD沿弧AMD上滑动（点C与A、点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F，
（1）求证：AE=BF；
（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDFE的面积是否为定值？若是定值，请给出证明并求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证：AE=BF，就要从点O向CD作垂线，然后利用垂径定理和平行线等分线段定理可知AE=BF；
（2）是定值，要求四边形的面积就要分析这个四边形是什么形状的，从图中可以看出是梯形，那就要利用梯形的计算公式计算，即（上底+下底）×高÷2，从图中给出的数量关系可知，上底加下底是定值，高也是定值，所以面积是定值．

解答：解：（1）从点O向CD作垂线，垂足为G．
根据垂径定理可知CG=DG，
又∵CE∥OG∥DF，
∴OG是梯形ECDF的中位线，
∴OE=OF．
∵OA=OB，
∴AE=BF．

（2）四边形CDFE的面积是定值．理由如下：
过点O作OG⊥CD于G，连接OD．
则DG=

1

2

CD=4.5cm．
在△OGD中，∠OGD=90°，OD=

1

2

AB=7.5cm，
根据勾股定理得OG=

7.52-4.52

=6cm，则GD=4.5cm．
∵OD、DG是定值，
∴OG是定值．
∵CE∥OG∥DF，G为CD中点，
∴O为EF中点，
①当CD与AB不平行时．
∴OG为梯形CDFE的中位线，
∴CE+DF=2OG=2×6=12cm，
∵梯形的高也是定值9cm，
∴梯形的面积是定值=12×9÷2=54cm²．
②当CD∥AB时，四边形ECDF是矩形，
OG=EC=FD=6，
∴矩形的面积=6×9=54cm²是定值．
综上所述，四边形CDFE的面积是定值．

点评：本题综合考查了垂径定理、平行线等分线段定理及勾股定理和梯形的面积公式等知识点．