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如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=1,点D在边AC上且BD平分∠ABC,设CD=x.

(1)求证:△ABC∽△BCD;

(2)求x的值;

(3)求cos36°﹣cos72°的值.


解:(1)∵等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,

∴∠ABC=∠C=72°,

∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠CBD=36°,

∵∠CBD=∠A=36°,∠C=∠C,

∴△ABC∽△BCD;

(2)∵∠A=∠ABD=36°,

∴AD=BD,

∵BD=BC,

∴AD=BD=CD=1,

设CD=x,则有AB=AC=x+1,

∵△ABC∽△BCD,

=,即=

整理得:x2+x﹣1=0,

解得:x1=,x2=(负值,舍去),

则x=

(3)过B作BE⊥AC,交AC于点E,

∵BD=CD,

∴E为CD中点,即DE=CE=

在Rt△ABE中,cosA=cos36°===

在Rt△BCE中,cosC=cos72°===

则cos36°﹣cos72°==


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