分析 (1)已知点A坐标可确定直线AB的解析式,进一步能求出点B的坐标.点A是抛物线的顶点,那么可以将抛物线的解析式设为顶点式,再代入点B的坐标,依据待定系数法可解.
(2)首先由抛物线的解析式求出点C的坐标,在△POB和△POC中,已知的条件是公共边OP,若OB与OC不相等,那么这两个三角形不能构成全等三角形;若OB等于OC,那么还要满足的条件为:∠POC=∠POB,各自去掉一个直角后容易发现,点P正好在第二象限的角平分线上,联立直线y=-x与抛物线的解析式,直接求交点坐标即可,同时还要注意点P在第二象限的限定条件.
(3)分别以A、B、Q为直角顶点,分类进行讨论.找出相关的相似三角形,依据对应线段成比例进行求解即可.
(4)根据等边三角形的边相等,可得方程组,根据解方程组,可得R点坐标,根据点的坐标满足函数解析式,点在函数图象上;否则,点不在函数图象上.
解答 解:(1)把A(1,-4)代入y=kx-6,得k=2,
∴y=2x-6,
令y=0,解得:x=3,
∴B的坐标是(3,0).
∵A为顶点,
∴设抛物线的解析为y=a(x-1)2-4,
把B(3,0)代入得:4a-4=0,
解得a=1,
∴y=(x-1)2-4=x2-2x-3.
(2)存在.∵OB=OC=3,OP=OP,∴当∠POB=∠POC时,△POB≌△POC,
此时PO平分第二象限,即PO的解析式为y=-x.
设P(m,-m),则-m=m2-2m-3,解得m=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$(m=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$>0,舍),
∴P($\frac{1-\sqrt{13}}{2}$,$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$).
(3)①如图,当∠Q1AB=90°时,△DAQ1∽△DOB,
∴$\frac{AD}{OD}$=$\frac{D{Q}_{1}}{DB}$,即$\frac{\sqrt{5}}{6}$=$\frac{D{Q}_{1}}{3\sqrt{5}}$,
∴DQ1=$\frac{5}{2}$,
∴OQ1=$\frac{7}{2}$,即Q1(0,-$\frac{7}{2}$);
②如图,当∠Q2BA=90°时,△BOQ2∽△DOB,
∴$\frac{OB}{OD}$=$\frac{O{Q}_{2}}{OB}$,即$\frac{3}{6}$=$\frac{O{Q}_{2}}{3}$,
∴OQ2=$\frac{3}{2}$,即Q2(0,$\frac{3}{2}$);
③如图,当∠AQ3B=90°时,作AE⊥y轴于E,
则△BOQ3∽△Q3EA,
∴$\frac{OB}{{Q}_{3}E}$=$\frac{O{Q}_{3}}{AE}$,即$\frac{3}{4-O{Q}_{3}}$=$\frac{O{Q}_{3}}{1}$,
∴OQ32-4OQ3+3=0,
∴OQ3=1或3,
即Q3(0,-1),Q4(0,-3).
综上,Q点坐标为(0,-$\frac{7}{2}$)或(0,$\frac{3}{2}$)或(0,-1)或(0,-3).
(4)抛物线上不存在一点R,使△ABR为等边三角形,理由如下:
设R(a,b),由△ABR为等边三角形,得
$\left\{\begin{array}{l}{(a-3)^{2}+{b}^{2}=(a-1)^{2}+(b+4)^{2}①}\\{(a-3)^{2}+{b}^{2}=(3-1)^{2}+{4}^{2}②}\end{array}\right.$,
由①,得a=-2b-2 ③,
把③代入②,得
b2+4b+1=0.
解得b1=-2+$\sqrt{3}$,b2=-2-$\sqrt{3}$,
a1=2-2$\sqrt{3}$,a2=2+2$\sqrt{3}$,
R1(2-2$\sqrt{3}$,-2+$\sqrt{3}$),R2(2+2$\sqrt{3}$,-2-$\sqrt{3}$).
将R1代入抛物线的解析式,
当x=2-2$\sqrt{3}$时,x2-2x-3=9-4$\sqrt{3}$≠-2+$\sqrt{3}$,
R1不在抛物线上;
当x=2+2$\sqrt{3}$时x2-2x-3=9+4$\sqrt{3}$≠-2-$\sqrt{3}$,
R2不在抛物线上;
综上所述:抛物线上不存在一点R,使△ABR为等边三角形.
点评 本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式的方法、直角三角形的判定、全等三角形与相似三角形应用等重点知识.(3)题较为复杂,需要考虑的情况也较多,因此要分类进行讨论,利用等边三角形求出R点坐标是解题关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 一直增大 | B. | 保持不变 | C. | 先减小后增大 | D. | 先增大后减小 |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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