Question

4． 如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax²+bx-3相交于A，B两点，且点A坐标为（1，-4），点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标；
（4）抛物线上是否存在一点R，使△ABR为等边三角形？若存在求出R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解．
（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在△POB和△POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件．
（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论．找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可．
（4）根据等边三角形的边相等，可得方程组，根据解方程组，可得R点坐标，根据点的坐标满足函数解析式，点在函数图象上；否则，点不在函数图象上．

解答 解：（1）把A（1，-4）代入y=kx-6，得k=2，
∴y=2x-6，
令y=0，解得：x=3，
∴B的坐标是（3，0）．
∵A为顶点，
∴设抛物线的解析为y=a（x-1）²-4，
把B（3，0）代入得：4a-4=0，
解得a=1，
∴y=（x-1）²-4=x²-2x-3．
（2）存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴当∠POB=∠POC时，△POB≌△POC，
此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y=-x．
设P（m，-m），则-m=m²-2m-3，解得m=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$（m=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$＞0，舍），
∴P（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$）．

（3）①如图，当∠Q₁AB=90°时，△DAQ₁∽△DOB，
∴$\frac{AD}{OD}$=$\frac{D{Q}_{1}}{DB}$，即$\frac{\sqrt{5}}{6}$=$\frac{D{Q}_{1}}{3\sqrt{5}}$，
∴DQ₁=$\frac{5}{2}$，
∴OQ₁=$\frac{7}{2}$，即Q₁（0，-$\frac{7}{2}$）；
②如图，当∠Q₂BA=90°时，△BOQ₂∽△DOB，
∴$\frac{OB}{OD}$=$\frac{O{Q}_{2}}{OB}$，即$\frac{3}{6}$=$\frac{O{Q}_{2}}{3}$，
∴OQ₂=$\frac{3}{2}$，即Q₂（0，$\frac{3}{2}$）；
③如图，当∠AQ₃B=90°时，作AE⊥y轴于E，
则△BOQ₃∽△Q₃EA，
∴$\frac{OB}{{Q}_{3}E}$=$\frac{O{Q}_{3}}{AE}$，即$\frac{3}{4-O{Q}_{3}}$=$\frac{O{Q}_{3}}{1}$，
∴OQ₃²-4OQ₃+3=0，
∴OQ₃=1或3，
即Q₃（0，-1），Q₄（0，-3）．
综上，Q点坐标为（0，-$\frac{7}{2}$）或（0，$\frac{3}{2}$）或（0，-1）或（0，-3）．
（4）抛物线上不存在一点R，使△ABR为等边三角形，理由如下：
设R（a，b），由△ABR为等边三角形，得
$\left\{\begin{array}{l}{（a-3）^{2}+{b}^{2}=（a-1）^{2}+（b+4）^{2}①}\\{（a-3）^{2}+{b}^{2}=（3-1）^{2}+{4}^{2}②}\end{array}\right.$，
由①，得a=-2b-2 ③，
把③代入②，得
b²+4b+1=0．
解得b₁=-2+$\sqrt{3}$，b₂=-2-$\sqrt{3}$，
a₁=2-2$\sqrt{3}$，a₂=2+2$\sqrt{3}$，
R₁（2-2$\sqrt{3}$，-2+$\sqrt{3}$），R₂（2+2$\sqrt{3}$，-2-$\sqrt{3}$）．
将R₁代入抛物线的解析式，
当x=2-2$\sqrt{3}$时，x²-2x-3=9-4$\sqrt{3}$≠-2+$\sqrt{3}$，
R₁不在抛物线上；
当x=2+2$\sqrt{3}$时x²-2x-3=9+4$\sqrt{3}$≠-2-$\sqrt{3}$，
R₂不在抛物线上；
综上所述：抛物线上不存在一点R，使△ABR为等边三角形．

点评 本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式的方法、直角三角形的判定、全等三角形与相似三角形应用等重点知识．（3）题较为复杂，需要考虑的情况也较多，因此要分类进行讨论，利用等边三角形求出R点坐标是解题关键．